Josephus Problem

问题描述：
n个罪犯被一群人追杀，为了不被敌人杀死，n个罪犯决定通过如下的方式自杀：手拉手围成一圈，并对每个人按顺序编号为：1,2,3,...,n。
从1开始报数，报到k的那个人就自杀，再从自杀的下一个人继续从1开始报数，以此类推，我们能够知道最后幸存的那个人的编号吗？

解决方法：
通过DP能够在$O(n)$解决问题。
首先我们需要递推式：

设$f(n,k)$表示有n个人且报到k的人自杀的情况下，最后幸存的人的编号。

\[f(n,k)=(f(n-1,k)+k - 1)\%n + 1\]

其中 $f(1,k) = 1$。

如果有 $n$ 个人且报到 $k$ 的人自杀时，第一个自杀的人一定是编号为 $(k-1) \% n + 1$ 的人，因此剩下还有$n-1$ 个人，把 $f(n,k)$ 想象成一个子程序，你能够调用它，我们只需要把剩下的 $n-1$ 个人重新编号，就能用 $f(n-1,k)$ 解决了。重新编号如下：

原来的编号 1　　　　2　　　　...　　k-1　　k+1　 　　k+2　...　　n
现在的编号 n-k+1　 n-k+2 　　　 n-1　　 1　　　　 2　　　　　n-k

假设现在编号为 $i$,则原来的编号为$(i+k-1) \% n + 1$（注意，这里不是(i+k) mod n，因为当i=n-k时，(i+k) mod n = 0）。

如果按照“现在的编号”的方式，用 $f(n-1,k)$ 能够找到幸存者，因此再将“现在的编号”转换成原来的编号即可，即 $f(n,k)=(f(n-1,k)+k - 1)\%n+1$

另解：如果按照 0,1,2,...,n-1 编号，则递推式变成了：

\[f(n,k)=(f(n-1,k)+k)\%n\]

其中$f(1,k)=0$

代码实现：

public class Josephus {
public static int josephus0(int n,int k){
int r = 0;
for(int i=2;i<=n;i++){
r = (r + k) % i;
}
return r;
}
public static int josephus1(int n,int k){
int r = 1;
for(int i=2;i<=n;i++){
r = (r + k - 1) % i + 1;
}
return r;
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(josephus1(10000,2));
}
}

Josephus的Java实现
复杂度：$O(n)$