康拓展开与康拓展开的逆运算

比较简单，百度上讲的够详细了

定义：

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 

其中，a为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)。这就是康托展开。康托展开可用代码实现。

康托展开的应用实例：
1.{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。
代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。
他们间的对应关系可由康托展开来找到。
如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 ：
第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!+0*0!就是康托展开。
再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

康托展开的代码实现

const int PermSize = 12;
long long factory[PermSize] = { 0, 1, 2, 6, 24, 120,720,
5040, 40320, 362880, 3628800,39916800};//存阶乘
long long Cantor(string buf)
{
int i, j, counted;
long long result = 0;
for (i = 0; i < PermSize; ++i)
{
counted = 0;
for(j = i + 1; j < PermSize; ++j)
if(buf[i] > buf[j])
++counted;
result = result + counted *factory[PermSize - i - 1];
}
return result;
}

康托展开的逆运算
例1 {1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕
(1)找出第96个数
首先用96-1得到95 （因为他是第96个嘛，前面有95个比他小）
用95去除4! 得到3余23  （注意原算式，这是逆运算嘛）
有3个数比它小的数是4
所以第一位是4
用23去除3! 得到3余5
有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以第二位是5（4在之前出现过，所以实际比5小的数是3个）
用5去除2!得到2余1
有2个数比它小的数是3，第三位是3
用1去除1!得到1余0
有1个数比它小的数是2，第二位是2
最后一个数只能是1
所以这个数是45321
(2)找出第16个数
首先用16-1得到15
用15去除4!得到0余15
用15去除3!得到2余3
用3去除2!得到1余1
用1去除1!得到1余0
有0个数比它小的数是1
有2个数比它小的数是3 但由于1已经在之前出现过了所以是4（因为1在之前出现过了所以实际比4小的数是2）
有1个数比它小的数是2 但由于1已经在之前出现过了所以是3（因为1在之前出现过了所以实际比3小的数是1）
有1个数比它小得数是2 但由于1，3，4已经在之前出现过了所以是5（因为1，3，4在之前出现过了所以实际比5小的数是1）
最后一个数只能是2
所以这个数是14352

求n个数的全排列中第m大的组合：

{n在20+就需要用高精度来做}

​康托展开的逆运算代码（C++语言）

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};
void anticantor(int n,int num)
{
int result[10];
bool vis[10];
memset(vis,false,sizeof(vis));
int k=0;
n--;
for(int i=num-1;i>=1;i--)
{
int mod = n%fac[i];
int minnum = n/fac[i];//比它小的数有多少个
int tem=minnum+1;//有minnum个数比他小的数是tem
while(vis[tem])//可能已经出现了
{
tem++;
}
int temnum=0;
for(int j=1;j<=k;j++)//找前面出现过的数中已经有几个比它小或者相等了
{
if(result[j]<minnum+1)
temnum++;
}
tem+=temnum;
while(vis[tem])
tem++;
result[++k] = tem;
vis[tem]=true;//标记已选
n = mod;
}
for(int i=1;i<=num;i++)//找最后一个没选的
{
if(!vis[i])
result[++k]=i;
}

for(int i=1;i<=k;i++)
cout<<result[i];
cout<<endl;
}
int main()
{
int n,m;
cout<<"输入排列数的个数：";
cin>>m;
while(true)
{

cout<<"输入要得到哪个排列：" ;
cin>>n;
anticantor(n,m);
}
return 0;
}