二进制、八进制、十进制、十六进制之间的转换
2013-05-28 12:12
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一、 十进制与二进制之间的转换
(1) 十进制转换为二进制,分为整数部分和小数部分:
① 整数部分
方法:除2取余法,即每次将整数部分除以2,余数为该位权上的数,而商继续除以2,余数又为上一个位权上的数,这个步骤一直持续下去,直到商为0为止,最后读数时候,从最后一个余数读起,一直到最前面的一个余数。
例:将十进制的168转换为二进制 ,(168)10=(?)2
168/2=84,余0
84/2=42,余0
42/2=21,余0
21/2=10,余1
10/2=5,余0
5/2=2,余1
2/2=1,余0
1/2=0,余1
读数就从最后的余数开始向前读,即10101000。
故(168)10=(10101000)2
②小数部分
方法:乘2取整法,即将小数部分乘以2,然后取整数部分,剩下的小数部分继续乘以2,然后取整数部分,剩下的小数部分又乘以2,一直取到小数部分
为零为止。如果永远不能为零,就同十进制数的四舍五入一样,按照要求保留多少位小数时,就根据后面一位是0还是1,取舍,如果是零,舍掉,如果是1,向入一位。换句话说就是0舍1入。读数要从前面的整数读到后面的整数。
例1:将0.125换算为二进制
0.125*2=0.25
0.25*2=0.5
0.5*2=1.0
读数,从第一位读起,读到最后一位,即为0.001。
故(0.125)10=(0.001)2
例2,将0.45转换为二进制(保留到小数点第四位)
大家从上面步骤可以看出,当第五次做乘法时候,得到的结果是0.4,那么小数部分继续乘以2,得0.8,0.8又乘以2的,到1.6这样一直乘下去,最后不可能得到小数部分为零,因此,这个时候只好学习十进制的方法进行四舍五入了,但是二进制只有0和1两个,于是就出现0舍1入。这个也是计算机在转换中会产生误差,但是由于保留位数很多,精度很高,所以可以忽略不计。
那么,我们可以得出结果将0.45转换为二进制约等于0.0111
即:
0.45*2=0.9
0.9*2=1.8
0.8*2=1.6
0.6*2=1.2
0.2*2=0.4
故(0.45)10=(0.0111)2
上面介绍的方法是十进制转换为为二进制的方法,需要大家注意的是:
1) 十进制转换为二进制,需要分成整数和小数两个部分分别转换
2) 当转换整数时,用的除2取余法,而转换小数时候,用的是乘2取整法
3) 注意他们的读数方向
因此,我们从上面的方法,我们可以得出十进制数168.125转换为二进制为10101000.001,或者十进制数168.45转换为二进制数约等于10101000.0111。
(2) 二进制转换为十进制 不分整数和小数部分:
方法:按权相加法,即将二进制每位上的数乘以权,然后相加之和即是十进制数。
例1:将二进制数101.101转换为十进制数。
0101.1010=(2^2+2^0).(2^-1+2
10e46
^-3)=5.625
得出结果:(101.101)2=(5.625)10
例2:将二进制01100100转换为十进制
第0位 0 x 2^0 = 0
第1位 0 x 2^1 = 0
第2位 1 x 2^2 = 4
第3位 0 x 2^3 = 0
第4位 0 x 2^4 = 0
第5位 1 x 2^5 = 32
第6位 1 x 2^6 = 64
第7位 0 x 2^7 = 0
再相加即100
故(01100100)2=(100)10
大家在做二进制转换成十进制需要注意的是
1) 要知道二进制每位的权值
2) 要能求出每位的值
二、 二进制与八进制之间的转换
首先,我们需要了解一个数学关系,即2^3=8,2^4=16,而八进制和十六进制是用这
关系衍生而来的,即用三位二进制表示一位八进制,用四位二进制表示一位十六进制数。
接着,记住4个数字8、4、2、1(2^3=8、2^2=4、2^1=2、2^0=1)。现在我们来练习二进制与八进制之间的转换。
(1) 二进制转换为八进制
方法:取三合一法,即从二进制的小数点为分界点,向左(向右)每三位取成一位,接着将这三位二进制按权相加,得到的数就是一位八位二进制数,然后,按顺序进行排列,小数点的位置不变,得到的数字就是我们所求的八进制数。如果向左(向右)取三位后,取到最高(最低)位时候,如果无法凑足三位,可以在小数点最左边(最右边),即整数的最高位(最低位)添0,凑足三位。
例 1 将二进制数101110.101转换为八进制
101 110 . 101
2^2+0+2^0 2^2+2^1+0 . 2^2+0+2^0
56.5
得到结果:将101110.101转换为八进制为56.5
例2 将二进制数1101.1转换为八进制
001 101 . 100
15.4
得到结果:将1101.1转换为八进制为15.4
(2) 八进制转换为二进制
方法:取一分三法,即将一位八进制数分解成三位二进制数,用三位二进制按权相加去凑这位八进制数,小数点位置照旧。
例:将八进制数67.54转换为二进制
因此,将八进制数67.54转换为二进制数为110111.101100,即110111.1011
6=4+2+0 110
7=4+2+1 111
5=4+0+1 101
4=4+0+0 100
即 (67.54)8=(110111.1011)2
大家从上面这道题可以看出,计算八进制转换为二进制
首先,将八进制按照从左到右,每位展开为三位,小数点位置不变
然后,按每位展开为2^2,2^1,2^0(即4、2、1)三位去做凑数,即a×2^2+ b×2^1 +c×2^0=a×4+b×2+c×1=该位上的数(a=1或者a=0,b=1或者b=0,c=1或者c=0),将abc排列就是该位的二进制数
接着,将每位上转换成二进制数按顺序排列
最后,就得到了八进制转换成二进制的数字。
以上的方法就是二进制与八进制的互换,大家在做题的时候需要注意的是
1) 他们之间的互换是以一位与三位转换,这个有别于二进制与十进制转换
2) 大家在做添0和去0的时候要注意,是在小数点最左边或者小数点的最右边(即整数的最高位和小数的最低位)才能添0或者去0,否则将产生错误 。
三、 二进制与十六进制的转换
方法:与二进制与八进制转换相似
(1) 二进制转换为十六进制
方法:取四合一法,即从二进制的小数点为分界点,向左(向右)每四位取成一位,接着将这四位二进制按权相加,得到的数就是一位十六位二进制数,然后,按顺序进行排列,小数点的位置不变,得到的数字就是我们所求的十六进制数。如果向左(向右)取四位后,取到最高(最低)位时候,如果无法凑足四位,可以在小数点最左边(最右边),即整数的最高位(最低位)添0,凑足四位。
例1:将二进制11101001.1011转换为十六进制
1110 1001 . 1011
8+4+2+0 8+0+0+1 .8+2+1
14 9 . 11
E9.B
得到结果:将二进制11101001.1011转换为十六进制为E9.B
即(11101001.1011)2=(E9.B)16
例2:将101011.101转换为十六进制
0010 1011 . 1010
2 8+2+1 . 8+2
2 11 . 10
2B.A
得到结果:将二进制101011.101转换为十六进制为2B.A
即(101011.101)2=(2B.A)16
(2)十六进制转换为二进制
方法:取一分四法,即将一位十六进制数分解成四位二进制数,用四位二进制按权相加去凑这位十六进制数,小数点位置照旧。
例:将十六进制6E.2转换为二进制数
6 E . 2
4+2 8+4+2 . 2
0110 1110 .0010
得到结果:将十六进制6E.2转换为二进制为01101110.0010 即110110.001
即(6E.2)16=(1101110.001)2
四、八进制与十六进制的转换
方法:一般不能互相直接转换,一般是将八进制(或十六进制)转换为二进制,然后再将二进制转换为十六进制(或八进制),小数点位置不变。
五、八进制与十进制的转换
(1)八进制转换为十进制
方法:按权相加法,即将八进制每位上的数乘以位权,然后相加之和即是十进制数。
例:将八进制数67.35转换为十进制
6×8^1+7×8^0 . 3×8^-1+5×8^-2
55.453125
即(67.35)8=(55.453125)10
(2)十进制转换为八进制
十进制转换成八进制有两种方法:
1)间接法:先将十进制转换成二进制,然后将二进制又转换成八进制
2)直接法:前面我们讲过,八进制是由二进制衍生而来的,因此我们可以采用与十进制转换为二进制相类似的方法,还是整数部分的转换和小数部分的转换,下面来具体讲解一下:
①整数部分
方法:除8取余法,即每次将整数部分除以8,余数为该位权上的数,而商继续除以8,余数又为上一个位权上的数,这个步骤一直持续下去,直到商为0为止,最后读数时候,从最后一个余数起,一直到最前面的一个余数。
②小数部分
方法:乘8取整法,即将小数部分乘以8,然后取整数部分,剩下的小数部分继续乘以8,然后取整数部分,剩下的小数部分又乘以8,一直取到小数部分为零为止。如果永远不能为零,就同十进制数的四舍五入一样,暂取个名字叫3舍4入。
例:将十进制数796.703125转换为八进制数
解:先将这个数字分为整数部分796和小数部分0.703125
整数部分 796
796/8=99 余4
99/8=12 余3
12/8=1 余4
1/8=0 余1
从最后的余数开始往前面读,即1434
小数部分 0.703125
0.703125*8=5.625
0.625*8=5.000
从靠近小数点的整数部分开始读,即0.55
故(796.703125)10=(1434.55)8
六、十进制与十六进制的转换
(1)十六进制转换为十进制
例:将十六进制 2AF5转换成10进制
解:用竖式计算:
2AF5
第0位: 5 * 16^0 = 5
第1位: F * 16^1 = 240
第2位: A * 16^2 = 2560
第3位: 2 * 16^3 = 8192
相加即 10997
直接计算就是:
5 * 16^0 + F * 16^1 + A * 16^2 + 2 * 16^3 = 10997
(A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15)
(2)十进制转换为十六进制
10进制数转换成16进制的方法,和转换为2进制的方法类似,唯一不同的是:除数由2变成16。就是大于15小于256的十进制数除以16为的值为十位的十六进制数,其余数为个位的十六进制数,没有余数则个位为“0”。
例:将(61)10转换为十六进制
61/16=3 余13
“3”作十位数,13转成D为个位数,
得结果(61)10=(3D)16。
本文介绍了二进制、十进制、八进制、十六进制四种进制之间相互的转换,大家在转换的时候要注意转换的方法,以及步骤,特别是十进制转换为期于三种进制之间,要分为整数部分和小数部分:其他进制转换到十进制,全部是各进制按权数的n-1次方展开并求和;十进制转换为其他进制,则是“除 各进制数基数 取余法”,直至商为零,然后将所有余数从后向前排列。
(1) 十进制转换为二进制,分为整数部分和小数部分:
① 整数部分
方法:除2取余法,即每次将整数部分除以2,余数为该位权上的数,而商继续除以2,余数又为上一个位权上的数,这个步骤一直持续下去,直到商为0为止,最后读数时候,从最后一个余数读起,一直到最前面的一个余数。
例:将十进制的168转换为二进制 ,(168)10=(?)2
168/2=84,余0
84/2=42,余0
42/2=21,余0
21/2=10,余1
10/2=5,余0
5/2=2,余1
2/2=1,余0
1/2=0,余1
读数就从最后的余数开始向前读,即10101000。
故(168)10=(10101000)2
②小数部分
方法:乘2取整法,即将小数部分乘以2,然后取整数部分,剩下的小数部分继续乘以2,然后取整数部分,剩下的小数部分又乘以2,一直取到小数部分
为零为止。如果永远不能为零,就同十进制数的四舍五入一样,按照要求保留多少位小数时,就根据后面一位是0还是1,取舍,如果是零,舍掉,如果是1,向入一位。换句话说就是0舍1入。读数要从前面的整数读到后面的整数。
例1:将0.125换算为二进制
0.125*2=0.25
0.25*2=0.5
0.5*2=1.0
读数,从第一位读起,读到最后一位,即为0.001。
故(0.125)10=(0.001)2
例2,将0.45转换为二进制(保留到小数点第四位)
大家从上面步骤可以看出,当第五次做乘法时候,得到的结果是0.4,那么小数部分继续乘以2,得0.8,0.8又乘以2的,到1.6这样一直乘下去,最后不可能得到小数部分为零,因此,这个时候只好学习十进制的方法进行四舍五入了,但是二进制只有0和1两个,于是就出现0舍1入。这个也是计算机在转换中会产生误差,但是由于保留位数很多,精度很高,所以可以忽略不计。
那么,我们可以得出结果将0.45转换为二进制约等于0.0111
即:
0.45*2=0.9
0.9*2=1.8
0.8*2=1.6
0.6*2=1.2
0.2*2=0.4
故(0.45)10=(0.0111)2
上面介绍的方法是十进制转换为为二进制的方法,需要大家注意的是:
1) 十进制转换为二进制,需要分成整数和小数两个部分分别转换
2) 当转换整数时,用的除2取余法,而转换小数时候,用的是乘2取整法
3) 注意他们的读数方向
因此,我们从上面的方法,我们可以得出十进制数168.125转换为二进制为10101000.001,或者十进制数168.45转换为二进制数约等于10101000.0111。
(2) 二进制转换为十进制 不分整数和小数部分:
方法:按权相加法,即将二进制每位上的数乘以权,然后相加之和即是十进制数。
例1:将二进制数101.101转换为十进制数。
0101.1010=(2^2+2^0).(2^-1+2
10e46
^-3)=5.625
得出结果:(101.101)2=(5.625)10
例2:将二进制01100100转换为十进制
第0位 0 x 2^0 = 0
第1位 0 x 2^1 = 0
第2位 1 x 2^2 = 4
第3位 0 x 2^3 = 0
第4位 0 x 2^4 = 0
第5位 1 x 2^5 = 32
第6位 1 x 2^6 = 64
第7位 0 x 2^7 = 0
再相加即100
故(01100100)2=(100)10
大家在做二进制转换成十进制需要注意的是
1) 要知道二进制每位的权值
2) 要能求出每位的值
二、 二进制与八进制之间的转换
首先,我们需要了解一个数学关系,即2^3=8,2^4=16,而八进制和十六进制是用这
关系衍生而来的,即用三位二进制表示一位八进制,用四位二进制表示一位十六进制数。
接着,记住4个数字8、4、2、1(2^3=8、2^2=4、2^1=2、2^0=1)。现在我们来练习二进制与八进制之间的转换。
(1) 二进制转换为八进制
方法:取三合一法,即从二进制的小数点为分界点,向左(向右)每三位取成一位,接着将这三位二进制按权相加,得到的数就是一位八位二进制数,然后,按顺序进行排列,小数点的位置不变,得到的数字就是我们所求的八进制数。如果向左(向右)取三位后,取到最高(最低)位时候,如果无法凑足三位,可以在小数点最左边(最右边),即整数的最高位(最低位)添0,凑足三位。
例 1 将二进制数101110.101转换为八进制
101 110 . 101
2^2+0+2^0 2^2+2^1+0 . 2^2+0+2^0
56.5
得到结果:将101110.101转换为八进制为56.5
例2 将二进制数1101.1转换为八进制
001 101 . 100
15.4
得到结果:将1101.1转换为八进制为15.4
(2) 八进制转换为二进制
方法:取一分三法,即将一位八进制数分解成三位二进制数,用三位二进制按权相加去凑这位八进制数,小数点位置照旧。
例:将八进制数67.54转换为二进制
因此,将八进制数67.54转换为二进制数为110111.101100,即110111.1011
6=4+2+0 110
7=4+2+1 111
5=4+0+1 101
4=4+0+0 100
即 (67.54)8=(110111.1011)2
大家从上面这道题可以看出,计算八进制转换为二进制
首先,将八进制按照从左到右,每位展开为三位,小数点位置不变
然后,按每位展开为2^2,2^1,2^0(即4、2、1)三位去做凑数,即a×2^2+ b×2^1 +c×2^0=a×4+b×2+c×1=该位上的数(a=1或者a=0,b=1或者b=0,c=1或者c=0),将abc排列就是该位的二进制数
接着,将每位上转换成二进制数按顺序排列
最后,就得到了八进制转换成二进制的数字。
以上的方法就是二进制与八进制的互换,大家在做题的时候需要注意的是
1) 他们之间的互换是以一位与三位转换,这个有别于二进制与十进制转换
2) 大家在做添0和去0的时候要注意,是在小数点最左边或者小数点的最右边(即整数的最高位和小数的最低位)才能添0或者去0,否则将产生错误 。
三、 二进制与十六进制的转换
方法:与二进制与八进制转换相似
(1) 二进制转换为十六进制
方法:取四合一法,即从二进制的小数点为分界点,向左(向右)每四位取成一位,接着将这四位二进制按权相加,得到的数就是一位十六位二进制数,然后,按顺序进行排列,小数点的位置不变,得到的数字就是我们所求的十六进制数。如果向左(向右)取四位后,取到最高(最低)位时候,如果无法凑足四位,可以在小数点最左边(最右边),即整数的最高位(最低位)添0,凑足四位。
例1:将二进制11101001.1011转换为十六进制
1110 1001 . 1011
8+4+2+0 8+0+0+1 .8+2+1
14 9 . 11
E9.B
得到结果:将二进制11101001.1011转换为十六进制为E9.B
即(11101001.1011)2=(E9.B)16
例2:将101011.101转换为十六进制
0010 1011 . 1010
2 8+2+1 . 8+2
2 11 . 10
2B.A
得到结果:将二进制101011.101转换为十六进制为2B.A
即(101011.101)2=(2B.A)16
(2)十六进制转换为二进制
方法:取一分四法,即将一位十六进制数分解成四位二进制数,用四位二进制按权相加去凑这位十六进制数,小数点位置照旧。
例:将十六进制6E.2转换为二进制数
6 E . 2
4+2 8+4+2 . 2
0110 1110 .0010
得到结果:将十六进制6E.2转换为二进制为01101110.0010 即110110.001
即(6E.2)16=(1101110.001)2
四、八进制与十六进制的转换
方法:一般不能互相直接转换,一般是将八进制(或十六进制)转换为二进制,然后再将二进制转换为十六进制(或八进制),小数点位置不变。
五、八进制与十进制的转换
(1)八进制转换为十进制
方法:按权相加法,即将八进制每位上的数乘以位权,然后相加之和即是十进制数。
例:将八进制数67.35转换为十进制
6×8^1+7×8^0 . 3×8^-1+5×8^-2
55.453125
即(67.35)8=(55.453125)10
(2)十进制转换为八进制
十进制转换成八进制有两种方法:
1)间接法:先将十进制转换成二进制,然后将二进制又转换成八进制
2)直接法:前面我们讲过,八进制是由二进制衍生而来的,因此我们可以采用与十进制转换为二进制相类似的方法,还是整数部分的转换和小数部分的转换,下面来具体讲解一下:
①整数部分
方法:除8取余法,即每次将整数部分除以8,余数为该位权上的数,而商继续除以8,余数又为上一个位权上的数,这个步骤一直持续下去,直到商为0为止,最后读数时候,从最后一个余数起,一直到最前面的一个余数。
②小数部分
方法:乘8取整法,即将小数部分乘以8,然后取整数部分,剩下的小数部分继续乘以8,然后取整数部分,剩下的小数部分又乘以8,一直取到小数部分为零为止。如果永远不能为零,就同十进制数的四舍五入一样,暂取个名字叫3舍4入。
例:将十进制数796.703125转换为八进制数
解:先将这个数字分为整数部分796和小数部分0.703125
整数部分 796
796/8=99 余4
99/8=12 余3
12/8=1 余4
1/8=0 余1
从最后的余数开始往前面读,即1434
小数部分 0.703125
0.703125*8=5.625
0.625*8=5.000
从靠近小数点的整数部分开始读,即0.55
故(796.703125)10=(1434.55)8
六、十进制与十六进制的转换
(1)十六进制转换为十进制
例:将十六进制 2AF5转换成10进制
解:用竖式计算:
2AF5
第0位: 5 * 16^0 = 5
第1位: F * 16^1 = 240
第2位: A * 16^2 = 2560
第3位: 2 * 16^3 = 8192
相加即 10997
直接计算就是:
5 * 16^0 + F * 16^1 + A * 16^2 + 2 * 16^3 = 10997
(A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15)
(2)十进制转换为十六进制
10进制数转换成16进制的方法,和转换为2进制的方法类似,唯一不同的是:除数由2变成16。就是大于15小于256的十进制数除以16为的值为十位的十六进制数,其余数为个位的十六进制数,没有余数则个位为“0”。
例:将(61)10转换为十六进制
61/16=3 余13
“3”作十位数,13转成D为个位数,
得结果(61)10=(3D)16。
本文介绍了二进制、十进制、八进制、十六进制四种进制之间相互的转换,大家在转换的时候要注意转换的方法,以及步骤,特别是十进制转换为期于三种进制之间,要分为整数部分和小数部分:其他进制转换到十进制,全部是各进制按权数的n-1次方展开并求和;十进制转换为其他进制,则是“除 各进制数基数 取余法”,直至商为零,然后将所有余数从后向前排列。
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