奇偶剪枝***&&***HDU1010 Tempter of the Bone

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奇偶剪枝

描述

奇偶剪枝是数据结构的搜索中，剪枝的一种特殊小技巧。
现假设起点为(sx,sy)，终点为（ex,ey），给定t步恰好走到终点，

s
|
|
|
+	—	—	—	e

如图所示（“|”竖走，“—”横走，“+”转弯），易证abs(ex-sx)+abs(ey-sy)为此问题类中任意情况下，起点到终点的最短步数，记做step，此处step1=8；

s	—	—	—
	—	—	+
|	+
|
+	—	—	—	e

如图，为一般情况下非最短路径的任意走法举例，step2=14；
step2-step1=6，偏移路径为6，偶数（易证）；

结论

推广之，若 t-[abs(ex-sx)+abs(ey-sy)] 结果为非偶数（奇数），则无法在t步恰好到达；
返回，false；
反之亦反。

原理补充

鉴于很多同学对奇偶剪枝根本原理的兴趣，所以hj决定再补充一下本词条。
还是以这个为例子吧，现在我把矩阵填满 0 和 1

0	1	0	1	0
1	0	1	0	1
0	1	0	1	0
1	0	1	0	1
0	1	0	1	0

我们现假设从 0 开始走，则不难证明，
从任意 0 走到任意 1 始终是奇数步；
从任意 0 走到任意 0 始终是偶数步；
引用描述里的“例子”， s 到 e 的最短步数为 t (当然你也可以理解成此时到终点刚好剩余 t 步等等)。
则，我们从 s 到 e 的步数之和(或者说总距离)总可以表示成 sum= t + extra ( extra>=0 )，其中 extra 表示额外的步数。[1]
比如“例子”里面的，做例1吧

s	—	—	—
	—	—	+
|	+
|
+	—	—	—	e

此时 t=8，sum=14，所以我们容易得到 extra=6。也就是说按照这个走法，需要在最短的步数上再走额外的 6 步(先不用太在意这些偏移是在什么地方产生的)。
在来一个例2吧，

s	—	—	—
	—	—	+
|	+
|		+	—	e
+	—	—

此时，t=7，sum=15，所以我们也容易得到 extra=8。
根据理科生的天性，由这两个一般性的例子，我们很容易嗅察到 extra 都为偶数。先带着疑惑，
再来看我给的 0 、1 矩阵。

0	1	0	1	0
1	0	1	0	1
0	1	0	1	0
1	0	1	0	1
0	1	0	1	0

设左上角坐标为（1，1），右下角坐标为（5，5）.
那么我们给的例1，
起点 s 的坐标为（1，1），此点为“0”；
终点 e 为（5，5），此点为“0”。
所以t=8，为偶数。
现在我们再倒过来看，从终点(也就是 e )出发，把最短步数 t=8 耗费掉，不妨这样走，

s				+
			+	—
			|
		+	—
		—	—	e

如图所示从 e （5，5）耗费 8 步走到了（1，5）点。
因为是从 0 走偶数步，所以走到的坐标也一定是 0 ，就像这里的（1，5）点是 0 一样。
又因为最短步数已经耗费掉了，所以不管怎样，从（1，5）再走回到起点 s 所用的步数总是最开始从起点 s 走到终点 e 所花的某一个额外步数 extra 。
注意到，（1，5）点和起点 s （1，1）都是 0，也就是说，这个 extra 必然是偶数！
再看例2，同样从终点 e 开始耗费 t=7 步，
则所到的点一定是 0 (不管她在哪里)，再从这个点回到起点 s ，所用的 extra 也必然是个偶数！
所以无论如何，sum= t + extra ( extra>=0 ) 中的 extra 都是一个偶数
那么我们就可以用公式 t-[abs(ex-sx)+abs(ey-sy)] 计算出extra是否为偶数来判断当前点能否恰好在这么多步到达终点了。
有的同学可能会说以 1 为 起点呢。。其实是一样的啦，自己去捣鼓吧。
现在明白了么。。那么我再给个经典的实例吧，自己去试着做一下 ZOJ 2110 或者 HDU 1010。
 

合作编辑者

Z钟氏家族
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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
char map[8][8];
int n,m,s,e,T;
bool flag = false;
int dir[5][3]={{1,0},{0,1},{-1,0},{0,-1}};
void DFS(int u,int v,int step)
{
if(u==s&&v==e&&step==T)
flag = true;
if(flag)return ;
if(step > T)return ;
int res=T-step-(abs(u-s)+abs(v-e));
if(res < 0||res&1)return ; //额外的步数比理论上的最短路径还短||额外步数不为偶数
//if((T-step<0)||(T-step)%2!=(abs(u-s)+abs(v-e)))return;
for(int i = 0;i < 4;i++)
{
int x = u + dir[i][0];
int y = v + dir[i][1];
if(x>=0&&x<n&&y>=0&&y<m&&map[x][y]!='X')
{
map[x][y] = 'X';//****1
DFS(x,y,step+1);
map[x][y] = '.';//****2 //次二处乃使DFS的精髓所在
}
}
}
int main()
{
while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&T),(n+m+T))
{
for(int i = 0;i < n;i++)
scanf("%s",map[i]);
int u,v,TotStep = 0;
for(int i = 0;i < n;i++)
for(int j = 0;j < m;j++)
{
if(map[i][j] == 'S')
{
u = i;
v = j;
}else if(map[i][j] == 'D')
{
s = i;
e = j;
TotStep++;
}else if(map[i][j] == '.')
{
TotStep++;
}
}
flag = false;
map[u][v] = 'X';
if(T <= TotStep)
DFS(u,v,0);
if(flag)
puts("YES");
else
puts("NO");
}
return 0;
}