How to find a cycle of length 4?

此处说的“环”是一个简单环。

假设图是用邻接矩阵实现，邻接矩阵记为 $A$ ，节点个数为 $n$，边的个数为 $m$。

如果存在 $i,j$，且 $1 \le i<j \le n$ ，$N(i) \cap N(j) \ge 2$ ，则说明存在一个长度为 4 的环。

算法如下：

for(i=1 to n)
for(int j=i+1 to n)
count = 0;
for(int k=1 to n)
if(A[j][k]==A[i][k]==1)
count++;
if(count>=2)
return "exist a cycle of length 4";
return "not exists";

算法复杂度：$O(n^3)$

算法正确性证明：

命题：如果存在 $i,j$，且 $1 \le i<j \le n$ ，$N(i) \cap N(j) \ge 2$ ，则存在一个长度为 4 的环。

证明.



从上图可以看出， $i \rightarrow b \rightarrow j \rightarrow a \rightarrow i$ 是一个长度为 4 的环。

命题：如果存在一个长度为 4 的环，则存在 $i,j$，且 $1 \le i<j \le n$ ，$N(i) \cap N(j) \ge 2$。

证明.



已知图中存在一个长度为 4 的环，如 $a \rightarrow b \rightarrow d \rightarrow c \rightarrow a$，则 $N(a) \cap N(d)=\{c,b\}$，因此得证。