hdu 4549 M斐波那契数列
2013-05-18 20:49
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用到了点数论,然后矩阵优化
由递推式
F[0] = a
F[1] = b
F
= F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )
容易得到通项公式F
=F[1]^f
*F[0]^f[n-1]
其中f
是普通的斐波那契,
f[0]=0
f[1]=1
f
=f[n-1]+f[n-2](n>1)
到了这里我用到了数论的一个性质,当gcd(x,m)=1时,x^(m-1) mod m=1,
这里1000000007是素数,所以gcd(x,m)必为一。
所以我们实际上只要求x=(f
mod (m-1))和y=(f[n-1] mod (m-1)),要用到矩阵优化
最后用二分法求b^x*a^y mod m。
由递推式
F[0] = a
F[1] = b
F
= F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )
容易得到通项公式F
=F[1]^f
*F[0]^f[n-1]
其中f
是普通的斐波那契,
f[0]=0
f[1]=1
f
=f[n-1]+f[n-2](n>1)
到了这里我用到了数论的一个性质,当gcd(x,m)=1时,x^(m-1) mod m=1,
这里1000000007是素数,所以gcd(x,m)必为一。
所以我们实际上只要求x=(f
mod (m-1))和y=(f[n-1] mod (m-1)),要用到矩阵优化
最后用二分法求b^x*a^y mod m。
#include<stdio.h> #define inf 1000000007 __int64 ans[2][2],mid[2][2],m,a,b; int init(__int64 a[2][2],__int64 b[2][2],int flag)//矩阵乘法 { int temp[2][2],i,j; temp[0][0]=(a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0])%m; temp[0][1]=(a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1])%m; temp[1][0]=(a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]*b[1][0])%m; temp[1][1]=(a[1][0]*b[0][1]+a[1][1]*b[1][1])%m; if(flag==1) { for(i=0;i<2;i++) for(j=0;j<2;j++) ans[i][j]=temp[i][j]; } if(flag==0) { for(i=0;i<2;i++) for(j=0;j<2;j++) mid[i][j]=temp[i][j]; } return 0; } int cal_ff(int n)//求f 和f[n-1] { while(n) { if(n&1) { init(ans,mid,1); } init(mid,mid,0); n/=2; } return 0; } __int64 cal_F(int n,__int64 p)//二分优化求b^x mod m和a^y mod m { __int64 ans_F=1; while(n) { if(n&1) { ans_F=ans_F*p%m; } p=p*p%m; n/=2; } return ans_F; } int main() { int n; while(scanf("%I64d%I64d%d",&a,&b,&n)!=-1) { ans[0][0]=1;ans[0][1]=0; ans[1][0]=0;ans[1][1]=1; mid[0][0]=1;mid[0][1]=1; mid[1][0]=1;mid[1][1]=0; m=inf-1; cal_ff(n); m=inf; a%=m; b%=m; __int64 x=ans[1][0],y=ans[1][1]; printf("%I64d\n",cal_F(x,b)*cal_F(y,a)%m); } return 0; }
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