NYOJ 298 点的变换 (矩阵快速幂)
2013-05-17 19:39
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题目链接: http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=298
题目:
时间限制:2000 ms | 内存限制:65535 KB
难度:5
描述
平面上有不超过10000个点,坐标都是已知的,现在可能对所有的点做以下几种操作:
平移一定距离(M),相对X轴上下翻转(X),相对Y轴左右翻转(Y),坐标缩小或放大一定的倍数(S),所有点对坐标原点逆时针旋转一定角度(R)。
操作的次数不超过1000000次,求最终所有点的坐标。
提示:如果程序中用到PI的值,可以用acos(-1.0)获得。
输入只有一组测试数据
测试数据的第一行是两个整数N,M,分别表示点的个数与操作的个数(N<=10000,M<=1000000)
随后的一行有N对数对,每个数对的第一个数表示一个点的x坐标,第二个数表示y坐标,这些点初始坐标大小绝对值不超过100。
随后的M行,每行代表一种操作,行首是一个字符:
首字符如果是M,则表示平移操作,该行后面将跟两个数x,y,表示把所有点按向量(x,y)平移;
首字符如果是X,则表示把所有点相对于X轴进行上下翻转;
首字符如果是Y,则表示把所有点相对于Y轴进行左右翻转;
首字符如果是S,则随后将跟一个数P,表示坐标放大P倍;
首字符如果是R,则随后将跟一个数A,表示所有点相对坐标原点逆时针旋转一定的角度A(单位是度)
输出每行输出两个数,表示一个点的坐标(对结果四舍五入到小数点后1位,输出一位小数位)
点的输出顺序应与输入顺序保持一致样例输入
样例输出
解题思路: 每个点的操作需要m次
如果对每个点都进行模拟,n个点的时间复杂度就是O(nm)
把所有操作相乘存到矩阵里,每个点只需要成乘矩阵一次就可得到m次操作后的结果
假设起始点的坐标为(x,y)
其实很容易证明每次操作要乘与什么矩阵
x1 x2 x3 x x1*x+x2*y+x3
x4 x5 x6 X y
= x4*x+x5*y+x6
x7 x8 x9 1 x7*x+x8*y+x9
如平移向量(a,b),x1=x5=1,x2=x4=0,x3=a,x4=b
值得注意的是矩阵有结合律但是没有交换率,前面的操作应该放在乘号的左边
代码:
题目:
点的变换
时间限制:2000 ms | 内存限制:65535 KB难度:5
描述
平面上有不超过10000个点,坐标都是已知的,现在可能对所有的点做以下几种操作:
平移一定距离(M),相对X轴上下翻转(X),相对Y轴左右翻转(Y),坐标缩小或放大一定的倍数(S),所有点对坐标原点逆时针旋转一定角度(R)。
操作的次数不超过1000000次,求最终所有点的坐标。
提示:如果程序中用到PI的值,可以用acos(-1.0)获得。
输入只有一组测试数据
测试数据的第一行是两个整数N,M,分别表示点的个数与操作的个数(N<=10000,M<=1000000)
随后的一行有N对数对,每个数对的第一个数表示一个点的x坐标,第二个数表示y坐标,这些点初始坐标大小绝对值不超过100。
随后的M行,每行代表一种操作,行首是一个字符:
首字符如果是M,则表示平移操作,该行后面将跟两个数x,y,表示把所有点按向量(x,y)平移;
首字符如果是X,则表示把所有点相对于X轴进行上下翻转;
首字符如果是Y,则表示把所有点相对于Y轴进行左右翻转;
首字符如果是S,则随后将跟一个数P,表示坐标放大P倍;
首字符如果是R,则随后将跟一个数A,表示所有点相对坐标原点逆时针旋转一定的角度A(单位是度)
输出每行输出两个数,表示一个点的坐标(对结果四舍五入到小数点后1位,输出一位小数位)
点的输出顺序应与输入顺序保持一致样例输入
2 5 1.0 2.0 2.0 3.0 X Y M 2.0 3.0 S 2.0 R 180
样例输出
-2.0 -2.0 0.0 0.0
解题思路: 每个点的操作需要m次
如果对每个点都进行模拟,n个点的时间复杂度就是O(nm)
把所有操作相乘存到矩阵里,每个点只需要成乘矩阵一次就可得到m次操作后的结果
假设起始点的坐标为(x,y)
其实很容易证明每次操作要乘与什么矩阵
x1 x2 x3 x x1*x+x2*y+x3
x4 x5 x6 X y
= x4*x+x5*y+x6
x7 x8 x9 1 x7*x+x8*y+x9
如平移向量(a,b),x1=x5=1,x2=x4=0,x3=a,x4=b
值得注意的是矩阵有结合律但是没有交换率,前面的操作应该放在乘号的左边
代码:
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #include <math.h> #define MAX 11000 #define PI acos(-1.0) //定义PI struct node{ double x,y; }roads[MAX]; typedef struct snode{ double edge[3][3]; }Matrix; Matrix ant,map,h,xx,yy,mm,ss,rr; void Mult(Matrix &a,Matrix &b,Matrix &c) //矩阵C=A*B { int i,j,k; memset(h.edge,0,sizeof(h.edge)); for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) for(k=0;k<3;k++) h.edge[i][j]+=(a.edge[i][k]*b.edge[k][j]); for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) c.edge[i][j]=h.edge[i][j]; } int main() { char ch; int i,n,m; double a,b; scanf("%d%d",&n,&m); for(i=0;i<n;i++) scanf("%lf%lf",&roads[i].x,&roads[i].y); memset(map.edge,0,sizeof(map.edge)); memset(xx.edge,0,sizeof(xx.edge)); memset(yy.edge,0,sizeof(yy.edge)); memset(mm.edge,0,sizeof(mm.edge)); memset(ss.edge,0,sizeof(ss.edge)); memset(rr.edge,0,sizeof(rr.edge)); xx.edge[0][0]=xx.edge[2][2]=1,xx.edge[1][1]=-1; //X轴对称 yy.edge[1][1]=yy.edge[2][2]=1,yy.edge[0][0]=-1; //Y轴对称 mm.edge[0][0]=mm.edge[1][1]=mm.edge[2][2]=1; //平移 ss.edge[0][0]=ss.edge[1][1]=ss.edge[2][2]=1; //缩放 rr.edge[0][0]=rr.edge[1][1]=rr.edge[2][2]=1; //旋转(逆时针) map.edge[0][0]=map.edge[1][1]=map.edge[2][2]=1; while(m--) { getchar(); scanf("%c",&ch); if(ch=='X') //X轴对称 Mult(xx,map,map); else if(ch=='Y') //Y轴对称 Mult(yy,map,map); else if(ch=='M') //平移向量(a,b) { scanf("%lf%lf",&a,&b); mm.edge[0][2]=a,mm.edge[1][2]=b; Mult(mm,map,map); } else if(ch=='S') //缩放a倍 { scanf("%lf",&a); ss.edge[0][0]=ss.edge[1][1]=a; Mult(ss,map,map); } else //旋转(逆时针)a度 { scanf("%lf",&a); b=a/180*PI; //角度制转化为弧度制 rr.edge[0][0]=rr.edge[1][1]=cos(b); rr.edge[0][1]=-sin(b); rr.edge[1][0]=sin(b); rr.edge[2][2]=1; Mult(rr,map,map); } } for(i=0;i<n;i++) { memset(ant.edge,0,sizeof(ant.edge)); //ant初始化为单位矩阵 ant.edge[0][0]=roads[i].x; ant.edge[1][0]=roads[i].y; ant.edge[2][0]=1; Mult(map,ant,ant); printf("%.1lf %.1lf\n",ant.edge[0][0],ant.edge[1][0]); } return 0; }
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