合并排序中对小数组采用插入排序

在合并排序中对小数组采用插入排序。
注：书里的那个O里还有一杠的符号打不出来，所以这里用大O代替了，特指同阶无穷大量。
尽管合并排序最坏情况运行时间为O(nlgn)，插入排序的最坏运行时间为O(n^2)，但是插入排序的常数因子使得它在n较小时，运行要更快一些。因此，在合并排序算法中，当子问题足够小时，采用插入排序就比较合适了。考虑对合并排序做这样的修改，即采用插入排序策略，对n/k
个长度为 k 的子列表进行排序。然后，再用标准的合并机制将它们合并起来，此处k是一个待定的值。
a) 证明在最坏的情况下，n/k个子列表可以用插入排序在O(nk)的时间内完成排序
b) 证明这些子列表可以在O(nlg(n/k))最坏情况内完成合并。
c) 如果已知修改后的合并排序算法的最坏运行时间为O(nk+nlg(n/k)),要使得修改后的算法具有与标准合并算法一样的渐进运行时间，k的最大渐进值(
即O形式）是什么（以n的函数形式表示）？

d) 实践中，应该如何选取k值。

参考答案：

a、O(n/k*k^2)=O(nk).这里的O中间有一横

b、n/k个列表两两合并，合并完继续合并，共lg(n/k)对，合并的代价O(n).所以O(nlg(n/k)).

         如果仅仅由两个字表合并，则每个数据被查找且移动一次，而n/k个字表时，每个数组查找且移动lg(n/k)次，

           故为O(nlg(n/k)).

c、O(nk+nlg(n/k))=O(nlgn).只能最大是k=O(lgn).等式左边中第一项是高阶项。k如果大于lgn,则比归并排序复杂度大了。左边可以写成nk+nlgn-nlgk，k等于lgn时，就是2nlgn-nlglgn.忽略恒定系数，则与归并排序是一样的。

b、 实践中，k的值应该选为使得插入排序比合并排序快的最大的数组长度。很容易理解，假设k=1，那么退化为标准合并排序，那么要提高效率需放大k，k放大到使得array[k]使用插入排序比合并排序快，而array[k+1]的插入排序效率不如或等于合并排序。