算法导论 2.1-3

题目

考虑下面的查找问题：
输入：一列数A=<a1，a2，…，an>和一个值v。
输出：下标i，使得A[i]与v相等，当v不出现在A中时，输出NIL。
写出这个问题的线性查找的伪码，它顺序的扫描整个序列以找到v。利用LOOP VIARIANT证明其正确性。

分析

伪代码

LINEAR-SEARCH(A, v)
1 for i <- 1 to len(A)
2     do if A[i] == v
3               then return i
4 return NIL 

循环不变式

在循环的每次迭代开始前，A[1...i-1]中不包含值为v的成员
证明：
初始化：在循环的第一次迭代开始前，此时i=1，给定假设A[1…0]不包含数据，显然v不在A[1…0]中，循环不变式成立
保持：在循环某次迭代开始时，假设i=k，不变式是正确的，那么A[1…k-1]不包含值为v的成员，执行此次迭代，假设没有找到与v匹配的成员（若找到就是终止条件），那么执行的结果可知A[k]不等于v，所以A[1...k]不包含值为v的成员，那么在下次迭代开始时，i=k+1，此时A[1...i-1]即A[1...k]，由前面可知不包含值为v的成员，循环不变式成立
终止：终止有两种情况，第一种，在某次迭代中，假设i=k，找到了值为v的成员，由“保持”的分析可知，此时A[1...k-1]不包含值为v的成员，循环不变式成立。第二种，没有找到值为v的成员，此时i=n+1，那么A[1...i-1]即为A[1...n]，A[1...n]即为原序列并且不包含值为v的成员，循环不变式成立。

代码

def linear_search(a, v):
for i in range(0, len(a)):
if a[i] == v:
return i
return None