算法基础(4)动态规划之最长子序列
2013-05-02 19:22
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一、动态规划的基本思想
1.与分治相同的部分:将待求解的问题分解成若干子问题,先求子问题的解,再将这些子问题合并成原问题的解
2.与分治不同的部分:分解的子问题互相之间并不独立,即子问题包含了公共的子子问题。动态规划算法将子子问题只计算一次,其结果保存在一个表格中,从而避免每次遇到都要重复计算。
3.动态规划主要用于最优化问题,主要步骤如下:
a.刻画最优解的结构;
b.用递归的方式定义最优解;
c.按自底向上的方式计算最优解的值;
d.由计算结果构造一个最优解。
二、最长公共子序列问题
若给定序列X = {x1,x2,...,xm},则存在严格递增的下标<i1,i2,..,ik>,使得xij=zj,序列Z= {z1,z2,...,zk}为X的子序列。简单的说,就是原序列删除几个元素,且保持元素的顺序不变。子序列如子串不同,子串要求连续。
若Z既是X的子序列,也是Y的子序列,则称Z为X,Y的公共子序列。
例如:X={ A,B,C,B,D,A,B},Y = {B,D,C,A,B,A}.则最长公共子序列(LCS)为Z = {B,C,A,B}.
好了,问题描述清楚了,怎么找到两个序列的LCS呢?当然可以分别穷举两个序列的子序列,然后找到相同的中最长的。但是复杂度高。我们用动态规划的方法解下这个问题。
首先,该问题有最优子结构的性质:
设X=<x1,x2,...,xm>,Y = <y1,y2,...,yn>,且X,Y的LCS为Z = <z1,z2,...,zk>
(1) 若xm=yn,则zk = xm = yn,Zk-1为Xm-1和Yn-1的LCS
(2) 若xm!=yn,且zk!=xm,则Zk为Xm-1和Y的LCS
(3) 若xm!=yn,且zk!=yn,则Zk为X和Yn-1的LCS
由以上性质可以看出,要找X,Y 的LCS,先找Xm-1,Y的LCS,再找X,Yn-1的LCS,然后取两者较长的。可以明显看出子问题中重叠的部分,即都要找出Xm-1和Yn-1的LCS。
由LCS问题的最优子结构可得递归式,定义c[i,j]为Xi,Yj的LCS长度
![](https://img-blog.csdn.net/20130507152714777)
用b[i,j]记录是通过哪一个子问题求解的,即图中的箭头。
![](https://img-blog.csdn.net/20130426220527378)
最后构造一个LCS:从右下角回溯,沿着箭头方向,遇到斜向上的箭头表明有一个使xi=yj的LCS成员。
三、代码
1.与分治相同的部分:将待求解的问题分解成若干子问题,先求子问题的解,再将这些子问题合并成原问题的解
2.与分治不同的部分:分解的子问题互相之间并不独立,即子问题包含了公共的子子问题。动态规划算法将子子问题只计算一次,其结果保存在一个表格中,从而避免每次遇到都要重复计算。
3.动态规划主要用于最优化问题,主要步骤如下:
a.刻画最优解的结构;
b.用递归的方式定义最优解;
c.按自底向上的方式计算最优解的值;
d.由计算结果构造一个最优解。
二、最长公共子序列问题
若给定序列X = {x1,x2,...,xm},则存在严格递增的下标<i1,i2,..,ik>,使得xij=zj,序列Z= {z1,z2,...,zk}为X的子序列。简单的说,就是原序列删除几个元素,且保持元素的顺序不变。子序列如子串不同,子串要求连续。
若Z既是X的子序列,也是Y的子序列,则称Z为X,Y的公共子序列。
例如:X={ A,B,C,B,D,A,B},Y = {B,D,C,A,B,A}.则最长公共子序列(LCS)为Z = {B,C,A,B}.
好了,问题描述清楚了,怎么找到两个序列的LCS呢?当然可以分别穷举两个序列的子序列,然后找到相同的中最长的。但是复杂度高。我们用动态规划的方法解下这个问题。
首先,该问题有最优子结构的性质:
设X=<x1,x2,...,xm>,Y = <y1,y2,...,yn>,且X,Y的LCS为Z = <z1,z2,...,zk>
(1) 若xm=yn,则zk = xm = yn,Zk-1为Xm-1和Yn-1的LCS
(2) 若xm!=yn,且zk!=xm,则Zk为Xm-1和Y的LCS
(3) 若xm!=yn,且zk!=yn,则Zk为X和Yn-1的LCS
由以上性质可以看出,要找X,Y 的LCS,先找Xm-1,Y的LCS,再找X,Yn-1的LCS,然后取两者较长的。可以明显看出子问题中重叠的部分,即都要找出Xm-1和Yn-1的LCS。
由LCS问题的最优子结构可得递归式,定义c[i,j]为Xi,Yj的LCS长度
用b[i,j]记录是通过哪一个子问题求解的,即图中的箭头。
最后构造一个LCS:从右下角回溯,沿着箭头方向,遇到斜向上的箭头表明有一个使xi=yj的LCS成员。
三、代码
#include <stdio.h> #include <string.h> #define MAXLEN 100 void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN]) int i, j; for(i = 0; i <= m; i++) c[i][0] = 0; for(j = 1; j <= n; j++) c[0][j] = 0; for(i = 1; i<= m; i++) { for(j = 1; j <= n; j++) { if(x[i-1] == y[j-1]) { c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1; b[i][j] = 0; } else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]) { c[i][j] = c[i-1][j]; b[i][j] = 1; } else { c[i][j] = c[i][j-1]; b[i][j] = -1; } } } } void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j) { if(i == 0 || j == 0) return; if(b[i][j] == 0) { PrintLCS(b, x, i-1, j-1); printf("%c ", x[i-1]); } else if(b[i][j] == 1) PrintLCS(b, x, i-1, j); else PrintLCS(b, x, i, j-1); } int main(int argc, char **argv) { char x[MAXLEN] = {"ABCBDAB"}; char y[MAXLEN] = {"BDCABA"}; int b[MAXLEN][MAXLEN]; int c[MAXLEN][MAXLEN]; int m, n; m = strlen(x); n = strlen(y); LCSLength(x, y, m, n, c, b); PrintLCS(b, x, m, n); return 0; }
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