最大子矩阵 动态规划DP

最大和

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难度：5

描述

给定一个由整数组成二维矩阵（r*c），现在需要找出它的一个子矩阵，使得这个子矩阵内的所有元素之和最大，并把这个子矩阵称为最大子矩阵。

例子：

0
-2 -7 0

9
2 -6 2

-4
1 -4 1

-1
8 0 -2

其最大子矩阵为：

9
2

-4
1

-1
8

其元素总和为15。

输入
第一行输入一个整数n（0<n<=100）,表示有n组测试数据；

每组测试数据：

第一行有两个的整数r，c（0<r,c<=100），r、c分别代表矩阵的行和列；

随后有r行，每行有c个整数；

输出
输出矩阵的最大子矩阵的元素之和。
样例输入

1
4 4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

样例输出

15

题目一开始算时间复杂度暴力是10^7多，不到10^8。然后就暴力来了，当时想法很简单对应每一个d[i][j]，以这个点为左上角，遍历所有可能形成的矩阵，一共是(100-i)*(100-j)个，然后就内存超了……再之后想降低空间，d[i][j]的一个矩阵就与前一个有关，空间也就开成了d[100][100][100][4]，然后TLE了……找到对应的dp算法后发现这是一个求一维数组中最大连续数列的变形。想想看可以暴力求出每行的所有可能，再根据每列做dp运算。

一、暴力求行的，然后dp求列

实现的过程中，数组给我干蒙了……绝对的蒙圈了，一直wa，然后有话完过了一个再回来改了改才过的。我想可能是三层遍历的条件还有里面的下标没有弄明白的原因……

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<memory.h>
#include<iostream>
#define MAX(a,b) a>b?a:b;
using namespace std;
int d[101][101][3][101];
int main()
{
int n,i,j,k,t,max;
int p,q;
scanf("%d",&n);
while(n--)
{
scanf("%d%d",&p,&q);
for(i=0;i<p;i++)
for(j=0;j<q;j++)
for(k=0;k<p;k++)
for(t=0;t<3;t++)
d[i][j][t][k]=0;
for(i=0;i<p;i++)
for(j=0;j<q;j++)
{
scanf("%d",&d[i][j][0][0]);
if(i==0&&j==0)
max=d[i][j][0][0];
else
max=MAX(max,d[i][j][0][0]);
}
for(i=0;i<p;i++)//这个循环里面也有点蒙圈……
for(j=0;j<q;j++)
for(k=0;k+j<q;k++)
{//if(k==0)cout<<endl;
if(k==0)
d[i][j][1][k]=d[i][j][0][0];
else
d[i][j][1][k]=d[i][j][1][k-1]+d[i][j+k][0][0];
max=MAX(max,d[i][j][1][k]);
//cout<<d[i][j][1][k]<<' ';
}

for(j=0;j<q;j++)//好像是这个位置一开始条件错了……
for(i=0;i+j<q;i++)
for(k=0;k<p;k++)
{//if(!k)cout<<endl;
if(k==0)
d[0][i][2][j]=d[0][i][1][j];
else
d[k][i][2][j]=MAX(d[k][i][1][j],d[k-1][i][2][j]+d[k][i][1][j]);
max=MAX(max,d[k][i][2][j]);
//cout<<d[k][i][2][j]<<' ';
}
printf("%d\n",max);
}
return 0;
}

最后还是过了……

时间有点慢空间也挺大……

二、对每行求前i个数的和f[i]，然后遍历f[i]-f[j]的每种情况，在列的方向上dp求解……这个代码不那么乱，我也就没那么迷糊了，很快就A了……

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<memory.h>
#include<iostream>
#define MAX(a,b) a>b?a:b;
using namespace std;
int d[101][101],f[101][101],a[101];
int main()
{
int n,i,j,k,t,max;
int p,q;
scanf("%d",&n);
while(n--)
{
scanf("%d%d",&p,&q);
for(i=0;i<p;i++)
for(j=0;j<q;j++)
{
scanf("%d",&d[i][j]);
if(i==0&&j==0)
max=d[i][j];
else
max=MAX(max,d[i][j]);
}
t=0;
memset(f,0,sizeof(f));
for(i=0;i<p;i++)
for(j=0;j<q;j++)
{
if(j==0)
f[i][1]=d[i][0];
else
f[i][j+1]=f[i][j]+d[i][j];
max=MAX(max,f[i][j+1]);
}
for(j=0;j<q;j++)
for(i=j+1;i<=q;i++)
{
memset(a,0,sizeof(a));
for(k=0;k<p;k++)
{
if(k!=0)
{
a[k]=MAX(a[k-1]+f[k][i]-f[k][j],f[k][i]-f[k][j]);
}
else
a[k]=f[k][i]-f[k][j];
max=MAX(max,a[k]);
}
}
printf("%d\n",max);
}
return 0;
}

个人感觉跟那个完全不是一个级别的……

PS:从昨天晚上开始做的，昨天晚上各种TLE，今天白天各种WA，下午3点才A，共耗时接近10个小时，坑爹啊……算法是硬伤……