图的多源点最短路问题和传递闭包之Floyd-Warshall算法 By ACReaper

我们知道求图的最短路有Dijkstra应用于无负权的算法，也有应用于有负权的Bellman0-Ford算法，但是当源点有多个呢？难道我们要调用n次的Dijkstra算法？有没有其它的算法呢？这是当然的，Floyd-Warshall就是用来解决这个问题的，也许有学过的人会说这个算法的效率太低，为O(n^3)但是，当摊销到每一条路上时，其效率为O(V)还是很高的，很实用的一个算法。

Floyd-Warshall算法是基于最短路的子路也一定是最短路这一最优子结构，加上动态规划思想来实现的，对于图中，我们假设dij(k)表示从结点Vi到结点Vj的最短路，k为其上标，表示在dij这条最短路的中间结点是属于{1,2,3....k}这个集合的，所以我们假设有结点P，集合S为{1,....k},集合Q为S-{p}，那么对于dij(k)这条最短路，结点k要么在其上，要么不在，所以我们有

Dij(k) = min(Dij(k-1),Dik(k-1) + Dkj(k - 1))。

接着我们用递推来减少重复的运算，算法如下:

#include <stdio.h>
//和算法导论中Floyd-Warshall算法，在图的存储中采用邻接矩阵不同，我们采用邻接链表来
//存图，并且完成该算法

#define MAXN 1000
#define INF 1 << 30
int first[MAXN + 1];
int next[MAXN + 1];
int d[MAXN + 1][MAXN + 1];
int c[MAXN + 1][MAXN + 1];
int u[MAXN + 1];
int v[MAXN + 1];
int w[MAXN + 1];
int n,m;
int main(){

while(scanf("%d%d",&n,&m) != EOF){
for(int i = 1; i <= n; i++){//Init,0代表NULL
first[i] = 0;
}
for(int i = 1; i <= m; i++){
next[i] = 0;
}

for(int e = 1; e <= m; e++){//构建邻接链表
scanf("%d%d%d",u + e, v + e, w + e);
next[e] = first[u[e]];
first[u[e]] = e;
}

//动态规划初始化
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= n; j++){
d[i][j] = INF;
c[i][j] = i == j?1 : 0;
}
d[i][i] = 0;
for(int e = first[i]; e != 0; e = next[e]){
d[i][v[e]] = w[e];
c[i][v[e]] = 1;
}
}
//从最底层开始递推
for(int k = 1; k <= n; k++){
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <=n ; j++){
if(d[i][k] != INF && d[k][j] != INF)
d[i][j] <?= d[i][k] + d[k][j];

c[i][j] = c[i][j] || c[i][k] && c[k][j];
}
}
}

for(int i = 1; i <=n ; i++){
for(int j = 1; j <= n; j++){
printf("V(%d)到V(%d)的最短路存在:%d,值为:%d\n",i,j,c[i][j],d[i][j]);
}
}

}

return 0;
}

2013 04 30

By ACReaper