HNOI2008——玩具装箱toy（斜率优化DP）

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

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Description

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个
常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

输出最小费用

Sample Input

5 4

3

4

2

1

4

Sample Output

1

HINT

Source

解析：

          首先很容易想出朴素的DP方程。。。dp[i] = min{dp[j] + (i-j-1 +sum[i]-sum[j] + L)^2};    

          考虑阶段i的两个决策1<=j<k<=i 如果j不比k优 则可以推出

          { f[j-1]-f[k-1]+(s[j-1]+j)^2-(s[k-1]+k)^2 }/(s[j-1]+j-s[k-1]-k) < 2*(s[i]-1-L)

          斜率优化。。。单调队列优化
代码：

/**************************************************************
Problem: 1010
User: jianing
Language: C++
Result: Accepted
Time:176 ms
Memory:2368 kb
****************************************************************/

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=50010;

int m,n,a
;
long long sum
,s
,dp
;
int q
;

void read()
{
//freopen("toy.in","r",stdin);
//freopen("toy.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
sum[0]=0;   s[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
s[i]=i+sum[i];
}
}

double ask(int j,int k)
{
return (double)((dp[j]-dp[k]+s[j]*s[j]-s[k]*s[k])/(double)(s[j]-s[k]));
}

void work()
{
int st=0,ed=0;
dp[0]=q[st]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
long long mm=s[i]-m-1;
while(st<ed && ask(q[st+1],q[st])<=2*mm)st++;
int j=q[st];
dp[i]=dp[j]+(mm-s[j])*(mm-s[j]);
while(st<ed && ask(q[ed],q[ed-1])>=ask(i,q[ed]))ed--;
q[++ed]=i;
}
printf("%lld\n",dp
);
}

int main()
{
read();
work();
return 0;
}