树状数组 详细解说（转）

首先我们得知道一个问题，那就是线段树得作用并不只是用来存储线段的，也可以存储点的值等等。对于静态的线段树，空间上需要的数组有:当前结点的数据值，
左儿子编号，右儿子编号，至少这么三个数组。而在时间上虽然是NlogN的复杂度，但是系数很大。实现起来的时候编程复杂度大，空间复杂度大，时间效率也
不是很理想。针对于这些缺点，树状数组便有了自己的优势。

下面从一个例题开始：

题目大意：

数列操作。给定一个初始值都为0的序列，动态地修改一些位置上的数字，加上一个数，减去一个数，或者乘上一个数，然后动态地提出问题，问题的形式是求出一段区间数字的和。

1.用线段树可以这样解:

若要维护的序列范围是0..5,先构造下面的一棵线段树:





可以看出，这棵树的构造用二分便可以实现，复杂度是2*N。

修改一个位置上数字的值，就是修改一个叶子结点的值，而当程序由叶子结点返回根节点的同时顺便修改掉路径上的结点的a数组的值。对于询问的回答，可以直接
查找i..j范围内的值，遇到分叉时就兵分两路，最后在合起来。也可以先找出0..i-1的值和0..j的值，两个值减一减就行了。后者的实际操作次数比
前者小一些。

这样修改与维护的复杂度是logN。询问的复杂度也是logN，对于M次询问，复杂度是MlogN。

->缺点：线段树的编程复杂度大，空间复杂度大，时间效率也不高。

2.树状数组的介绍。

树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构，可以很高效的进行区间统计。在思想上类似于线段树，比线段树节省空间，编程复杂度比线段树低，但适用范围比线段树小。

来观察这个图[数组下标是从1开始]：



　　令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：

　　C1 = A1

　　C2 = A1 + A2

　　C3 = A3

　　C4 = A1 + A2 + A3 + A4

　　C5 = A5

　　C6 = A5 + A6

　　C7 = A7

　　C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

...

　　C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 +
A12 + A13 + A14 + A15 + A16

这里有一个有趣的性质：





　　设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax。(管辖区间就是记录的区间个数，1,3,5,7,9为1。2,6为2。4为4。8为8。)

　　所以很明显：Cn = A[n – 2^k + 1] + ... + A

　　算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：

　　int lowbit(int x){

　　
return x & (x^(x–1));

　　}

还有一种更简洁的写法：

int lowbit(int x){

return x&(-x);

}

　　想要查询一个SUM(n)，可以依据如下算法即可(求a[0]~a
的和）：

　　step1:　令sum = 0，转第二步；

　　step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum +
Cn，转第三步；

　　step3: 令 n = n
– lowbit(n)，转第二步。

　　可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：

　　n = n –
lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

int
sum(int i){

int ans = 0;

while(i > 0){

ans += ar[i];

i -= lowbit(i);

}

return ans;

}

　　那么修改UPDATE()呢，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。

　　所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：

　　step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；

　　step2: Ci = Ci + x， i = i +
lowbit(i)转第一步。

　　i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。

void add(int i, int w){

while(i <= n){

ar[i] += w;

i += lowbit(i);

}

}

扩展：二维树状数组(要学会运用)。

对ar[1][1]增加的效果：




void add(int i, int j, int w){

int tmpj;

while(i <= row){

tmpj = j;

while(tmpj <= col){

ar[i][tmpj] += w;

tmpj += lowbit(tmpj);

}

i += lowbit(i);

}

}

int sum(int i, int j){

int tmpj, ans = 0;

while(i > 0){

tmpj = j;

while(tmpj > 0){

ans += ar[i][tmpj];

tmpj -= lowbit(tmpj);

}

i -= lowbit(i);

}

return ans;

}