01背包问题 详细推导

01背包(每种物品有且只有一件)

问题重现:

在n件物品取出x件放在空间为m的背包里，每件物品的体积为w1，w2……wn，与之相对应的价值为p1,p2...pn

从其中选出若干物品装入背包可使这些体积总和不超过背包容量，求出获得最大价值的方案。

子问题状态定义：c[i][m]表示在前i(包括i)件做出选择后放入容量为m的背包的最大价值

状态转移方程为：c[i][m]=max{c[i-1][m],c[i-1][m-w[i]]+p[i]}

备注：背包容量m,物品编号i,对应物品价值p[i],对应物件体积w[i]

证明:

第i件物品放或者不放,分为两种情况，最终取二者中价值最大者

①放入：说明总价值需要重新计算。也就是转换为前i-1件物品放入容量为m-w[i]的情形，当然还需要加上第i件物品的价值。即：c[i-1][m-w[i]]+p[i];

②不放：这样的话就只取决于前i-1件物品放入容量为m的情形。即：c[i-1][m]

优化：

①去除所有容量大于m的物品

②去掉所有一眼看过去就知道性价比不如另一个物品的物品，如w[i]>=w[j] && p[i]<=p[j]