NYOJ 单调递增子序列(二) 南工214
2013-04-19 10:41
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这是一个很好的题目。题目的算法还是比较容易看出来的,就是求最长上升子序列的长度。不过这一题的数据规模最大可以达到40000,经典的O(n^2)的动态规划算法明显会超时。我们需要寻找更好的方法来解决是最长上升子序列问题。
先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法,设A[i]表示序列中的第i个数,F[i]表示从1到i这一段中以i结尾的最长上升子序列的长度,初始时设F[i] = 0(i = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程:F[i] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., i - 1, 且A[j] < A[i])。
现在,我们仔细考虑计算F[i]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y],满足
(1)x < y < i (2)A[x] < A[y] < A[i] (3)F[x] = F[y]
此时,选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[i]值,那么,在最长上升子序列的这个位置中,应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢?
很明显,选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2),在A[x+1] ... A[i-1]这一段中,如果存在A[z],A[x] < A[z] < a[y],则与选择A[y]相比,将会得到更长的上升子序列。
再根据条件(3),我们会得到一个启示:根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k,我们只需要保留满足F[i] = k的所有A[i]中的最小值。设D[k]记录这个值,即D[k] = min{A[i]} (F[i] = k)。
注意到D[]的两个特点:
(1) D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。
(2) D[]的值是有序的,即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D
。
利用D[],我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[i]与D[len]。若A[i] > D[len],则将A[i]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列,len = len + 1, D[len] = A[i];否则,在D[1]..D[len]中,找到最大的j,满足D[j] < A[i]。令k = j + 1,则有D[j] < A[i] <= D[k],将A[i]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列,同时更新D[k] = A[i]。最后,len即为所要求的最长上升子序列的长度。
在上述算法中,若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找,由于共有O(n)个元素需要计算,每次计算时的复杂度是O(n),则整个算法的时间复杂度为O(n^2),与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2),我们在D[]中查找时,可以使用二分查找高效地完成,则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn),有了非常显著的提高。需要注意的是,D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列!
这个算法还可以扩展到整个最长子序列系列问题,整个算法的难点在于二分查找的设计,需要非常小心注意。
下面这个是用STL里面的lower_bound实现二分查找的,lower_bound();返回第一个大于等于value的元素位置
先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法,设A[i]表示序列中的第i个数,F[i]表示从1到i这一段中以i结尾的最长上升子序列的长度,初始时设F[i] = 0(i = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程:F[i] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., i - 1, 且A[j] < A[i])。
现在,我们仔细考虑计算F[i]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y],满足
(1)x < y < i (2)A[x] < A[y] < A[i] (3)F[x] = F[y]
此时,选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[i]值,那么,在最长上升子序列的这个位置中,应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢?
很明显,选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2),在A[x+1] ... A[i-1]这一段中,如果存在A[z],A[x] < A[z] < a[y],则与选择A[y]相比,将会得到更长的上升子序列。
再根据条件(3),我们会得到一个启示:根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k,我们只需要保留满足F[i] = k的所有A[i]中的最小值。设D[k]记录这个值,即D[k] = min{A[i]} (F[i] = k)。
注意到D[]的两个特点:
(1) D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。
(2) D[]的值是有序的,即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D
。
利用D[],我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[i]与D[len]。若A[i] > D[len],则将A[i]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列,len = len + 1, D[len] = A[i];否则,在D[1]..D[len]中,找到最大的j,满足D[j] < A[i]。令k = j + 1,则有D[j] < A[i] <= D[k],将A[i]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列,同时更新D[k] = A[i]。最后,len即为所要求的最长上升子序列的长度。
在上述算法中,若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找,由于共有O(n)个元素需要计算,每次计算时的复杂度是O(n),则整个算法的时间复杂度为O(n^2),与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2),我们在D[]中查找时,可以使用二分查找高效地完成,则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn),有了非常显著的提高。需要注意的是,D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列!
这个算法还可以扩展到整个最长子序列系列问题,整个算法的难点在于二分查找的设计,需要非常小心注意。
#include <iostream> using namespace std; int a[1000005]; int dp[100005]; int binarysearch(int x,int len) //二分查找,返回找到的位置 { int mid,left,right; left=1; right=len; mid=(right+left)/2; while(left<=right) { if(x>dp[mid]) { left=mid+1; } else if(x<dp[mid]) { right=mid-1; } else { return mid; } mid=(right+left)/2; } return left; } int main() { int i,j; int len; int n; // freopen("in.txt", "r", stdin); while(cin>>n) { for(i=0;i<n;i++) { cin>>a[i]; } dp[0]=-1000000; dp[1]=a[0]; len=1; for(i=1;i<n;i++) { j=binarysearch(a[i],len); //j代表的是到达当前这个值的时候的最大长度,这里用下标来表示最大长度 dp[j]=a[i]; //将达到这个长度的最小值赋给dp[j] if(j>len) //len记录最大长度 { len=j; } } cout<<len<<endl; } return 0; }
下面这个是用STL里面的lower_bound实现二分查找的,lower_bound();返回第一个大于等于value的元素位置
#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; const int MAX=100100; int num[MAX],top=0; int main() { int n; while(~scanf("%d",&n)) { scanf("%d",&num[0]); top=1; for(int i=1;i!=n;i++) { scanf("%d",&num[i]); int * p=lower_bound(num,num+top,num[i]); if(p-num==top) ++top; *p=num[i]; } printf("%d\n",top); } }
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