NYOJ-90整数划分

整数划分

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难度：3

描述将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，
其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。
正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不
同划分个数。
例如正整数6有如下11种不同的划分：
6；
5+1；
4+2，4+1+1；
3+3，3+2+1，3+1+1+1；
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；
1+1+1+1+1+1。

输入第一行是测试数据的数目M（1<=M<=10）。以下每行均包含一个整数n（1<=n<=10）。输出输出每组测试数据有多少种分法。样例输入

1
6

样例输出

11

解析：

根据n和m的关系，考虑以下几种情况：

（1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

(2) 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};

(3) 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

(a). 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

(b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。

因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

(4) 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);

(5) 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

(a). 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分

个数为f(n-m, m);

(b). 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);

因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;

int fun(int n, int m)  // fun(n, m)表示将整数 n 划分为最大数不超过 m 的划分
{
if(n == 1 || m == 1)
return 1;
if(n < m)
return fun(n, n);
if(n > m)     // 此时将问题转化为两部分  1.划分中含有 m；   2.划分中不含 m
return fun(n-m, m) + fun(n, m-1);
if(n == m)// 此时也是两部分，如果含有 m 则只有一种只含有 m 的划分，如果不含有 m 则转化为最大数不超过 m-1 的划分
return 1 + fun(n, m-1);
}

int main()
{
int T, n;
scanf("%d", &T);
while(T--)
{
scanf("%d", &n);
printf("%d\n", fun(n,n));
}
return 0;
}