计算机系统中的整数运算

上一篇随笔中介绍了“计算机系统内的整数表示”，本文继续探索整数运算的本质。

计算机系统内的整数运算的局限：
　　表示整数的二进制位是一定的，所以表示的整数的范围是局限的。
“整数”运算实际上是一种模运算：
　　表示数字的有限字长限制了可能的取值范围，结果运算可能溢出，所以运算结果都是取模之后的。

无符号加法
一个算术运算溢出，是指完整的整数结果不能放到数据类型的字长限制中去。
C语言中真正执行的无符号加法：

+uw （用这种符号区别标准的加法； + 表示标准的加法），又称为 模数加法。





= （x+y）mod 2^w

整数加法和无符号加法间的关系。当x+y大于2w-1时，其和溢出。



例如：（231 = 2147483648）

unsigned int u1=2147483648u+2147483647u;
printf("u1=%u\n",u1);
unsigned int u2=2147483648u+2147483647u+1;
printf("u2=%u\n",u2);

输出：u1=4294967295

　　 u2=0

补码加法
在计算机计算中，通常将表示截断到w位，来避免数据大小的不断扩张。C语言中真正执行的补码加法：+tw（用这种符号区别标准的加法）



整数和补码加法之间的关系：

当x+y小于-2w-1，产生负溢出。当它大于2w-1 -1时，产生正溢出。



例如：（int类型的最大正数为：231-1 = 2147483647）

int y=2147483647+1;
printf("y=%d",y);

输出：y=-2147483648

补码的非运算



无符号乘法
其中 x*y指实数内的乘法。



有符号乘法



乘以常数
对于无符号和有符号变量x：C表达式 x<<k 等价于 x*2^k。 (左移运算)
（可以理解为：这是对二进制表示的运算，无符号和有符号是对二进制表示的两种解释）
例如：14=2^3+2^2+2 所以 x*14=(x<<3)+(x<<2)+(x<<1)
或14=2^4-2 所以 x*14=(x<<4)-(x<<1)
-6=2-8 所以 x*(-6)=(x<<1)-(x<<3)

除以2的幂
整数除法总是舍入到零，对于x>=0，y>0 ，结果是



（下取整），对于x<0，y>0，结果是



（上取整）

对于无符号变量x：C表达式x/2^k等价于x>>k。（逻辑右移）
对于有符号变量（补码）x：表达式x/2^k等价于(x<0 ? (x + (1<<k) -1) : x ) >>k。（算术右移）
（当x<0时，x上加上一个适当的偏移量（2^k-1），再执行算术右移，使结果正确舍入）

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