HDU 4533 威威猫系列故事——晒被子

威威猫系列故事——晒被子

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Problem Description

　　因为马拉松初赛中吃鸡腿的题目让不少人抱憾而归，威威猫一直觉得愧对大家，这几天他悄悄搬到直角坐标系里去住了。

　　生活还要继续，太阳也照常升起，今天，威威猫在第一象限晒了N条矩形的被子，被子的每条边都和坐标轴平行，不同被子的某些部分可能会叠在一起。这时候，在原点处突然发了场洪水，时间t的时候，洪水会蔓延到( t, t )，即左下角为( 0, 0 ) ，右上角为( t, t )的矩形内都有水。

　　悲剧的威威猫想知道，在时间t1, t2, t3 ... tx 的时候，他有多少面积的被子是湿的？

Input

输入数据首先包含一个正整数T，表示有T组测试数据；

每组数据的第一行首先是一个整数N，表示有N条被子；

接下来N行，每行包含四个整数x1, y1, x2, y2，代表一条被子的左下角和右上角的坐标；

然后接下来一行输入一个整数x，表示有x次询问；

再接下来x行，输入x个严格单调递增的整数，每行一个，表示威威猫想知道的时间ti。

[Technical Specification]

T <= 5

0 < N <= 20000

1 <= x1 < x2 <= 200000

1 <= y1 < y2 <= 200000

1 <= x <= 20000

1 <= ti <= 200000 （1 <= i <= x ）

Output

对于每次询问，请计算并输出ti时有多少面积的被子是湿的，每个输出占一行。

Sample Input

1
2
1 1 3 3
2 2 4 4
5
1
2
3
4
5

Sample Output

0
1
5
8
8

Source

2013腾讯编程马拉松复赛第一场（3月29日）

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liuyiding

题目大意：

在第一象限中给出若干矩形（点范围1e5，矩形个数20000），现在给出一些询问（次数20000），每次询问给出一个整数t，问在(0,0)到(t,t)范围的矩形面积和。

解题思路：

考虑每次询问t,对于单一矩形的面积的计算方法～



对于询问t。计算如图矩形所被包含的面积可以用矩形面积S[TCFI]-S[TJGI]，而S[TCFI]=(t-Fx)*(t-Fy);S[TJGI]=(t-Gx)*(t-Gy)
换句话说就是用[T和矩形左下角的点形成的面积]减去[T和矩形右下角形成的矩形面积]就是这个矩形被包含的面积！

下面来看一个类似的情况：



对于这次询问t。当前矩形被包涵的面积是S[TLFI]-S[TLEK]。即[T和矩形左下角点形成的面积]减去[T和矩形左上角点形成的矩形的面积]！

那么对于矩形被包含进(t,t)范围是什么情况呢？



这时候的面积是EHGF的面积，但我们还想计算这个面积时和T有关。仿照前面的讨论，发现S[EHGF]不就是S[TLFI]-S[TLEN]-S[TMGI]+S[TMHN]么？
换句话描述，就是[T和矩形左下角点形成的矩形面积]减去[T和矩形左上角点形成的矩形面积]减去[T和矩形右下角点形成的矩形面积]加上[T和矩形右上角点形成的矩形面积]

那么我们得到了如下算法：
输入询问t
sum=0
遍历所有矩形的四个顶点
如果该顶点在(0,0)-(t,t)的范围内
如果当前顶点是它所在矩形的左上角或右下角的点那么sum+=[(t,t)和该点形成的矩形的面积]
否则sum-=[(t,t)和该点形成的矩形的面积]
返回sum

对于这题目的数据来说时间复杂度肯定是不够的，我们要想办法优化它。。。

观察我们计算[T和当前点形成的矩形面积]时的方法：
假设当前点坐标是(x,y)
那么S=(t-x)*(t-y)
我们可以将上式展开：S=t*t-t(x+y)+xy
我们可不可以将上式分成的三部分分别求和呢？答案是可以的！

那么我们可以将所有矩形左下角和右上角的点分到一组a（因为它们和T形成的矩形面积都是做“加”运算），把左上角和右下角的点分到一组b（因为它们和T形成的矩形面积都是做“减”运算）

那么结果可以写成sigma[a中在(t,t)范围内的点和T形成的矩形面积]-sigma[b在(t,t)范围内的点和T形成的矩形面积]

很容易想到，我们将a，b中的点分别按max(x,y)排序。然后正确的算法已经呼之欲出了！
对于每次询问t，我们二分找到它在a,b中的位置n,m（即max(x,y)恰好不超过t的最大的下标，a,b都是从1开始编号）
答案不就是
Sum(Sa)-Sum(Sb)
=sigma[t*t-t*(x+y)+xy]（a中点）-sigma[t*t-t*(x+y)+xy]（b中点）
=[sigma(t*t)-sigma(x+y)+sigma(xy)]（a中点）-[sigma(t*t)-sigma(x+y)+sigma(xy)]（b中点）

计算sigma(t*t)只要t*t乘个数（对于a是n,对于b是m）即可！
计算sigma(x+y)和sigma(xy)只要预处理一下即可！

现在算法如下：

检查所有矩形的四个顶点
如果是左下角或是右上角的点那么放到a的末尾
否则放到b的末尾
将a,b中的所有点按max(x,y)排序
定义suma,sumb表示a、b的点中下标1到下标i的所有点的x+y和
定义suma_mul,sumb_mul表示a、b的点中下标1到下标i的所有点的x*y和
循环 i=1 到 2*N
suma[i]=suma[i-1]+a[i].x+a[i].y
sumb[i]=sumb[i-1]+b[i].x+b[i].y
suma_mul[i]=suma_mul[i-1]+a[i].x*a[i].y
sumb_mul[i]=sumb_mul[i-1]+b[i].y*b[i].y
对于每次询问t
二分找到在a,b中max(x,y)恰好不超过t的下标n,m
输出答案(t*t*n-t*suma
+suma_mum
)-(t*t*m-t*sumb[m]+sumb_mul[m])

另外：由于本题的询问范围是固定且是递增的，所以可以考虑在这里再次优化时间复杂度

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
struct point{
long long x,y;
friend bool operator < (const point &a,const point &b){
return max(a.x,a.y)<max(b.x,b.y);
}
};
point a[50001];
long long suma[50001],sumb[50001],suma_mul[50001],sumb_mul[50001];
point b[50001];
int find_a(int l,int r,long long t){
while(r>=l){
int m=(l+r)/2;
if(t==max(a[m].x,a[m].y))return m;
if(t<max(a[m].x,a[m].y))r=m-1;
else l=m+1;
}
return l;
}
int find_b(int l,int r,long long t){
while(r>=l){
int m=(l+r)/2;
if(t==max(b[m].x,b[m].y))return m;
if(t<max(b[m].x,b[m].y))r=m-1;
else l=m+1;
}
return l;
}
int main(){
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--){
memset(suma,0,sizeof(suma));
memset(sumb,0,sizeof(sumb));
memset(suma_mul,0,sizeof(suma_mul));
memset(sumb_mul,0,sizeof(sumb_mul));
memset(a,0,sizeof(a));
memset(b,0,sizeof(b));
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
long long x1,y1,x2,y2;
scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d",&x1,&y1,&x2,&y2);
//cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
a[2*i-1]=(point){x1,y1};
a[2*i]=(point){x2,y2};
b[2*i-1]=(point){x1,y2};
b[2*i]=(point){x2,y1};
}
sort(a,a+2*n+1);
sort(b,b+2*n+1);
for(int i=1;i<=2*n;i++){
suma[i]=suma[i-1]+a[i].x+a[i].y;
sumb[i]=sumb[i-1]+b[i].x+b[i].y;
suma_mul[i]=suma_mul[i-1]+a[i].x*a[i].y;
sumb_mul[i]=sumb_mul[i-1]+b[i].x*b[i].y;
}
suma[2*n+1]=suma[2*n];
sumb[2*n+1]=sumb[2*n];
suma_mul[2*n+1]=suma_mul[2*n];
sumb_mul[2*n+1]=sumb_mul[2*n];
int q;
scanf("%d",&q);
while(q--){
long long x;
scanf("%I64d",&x);
long long sum=0;
int m=find_a(1,2*n,x);
if(m>2*n)m=2*n;
if(x<max(a[m].x,a[m].y))m--;
sum=m*x*x-x*suma[m]+suma_mul[m];
m=find_b(1,2*n,x);
if(m>2*n)m=2*n;
if(x<max(b[m].x,b[m].y))m--;
sum=sum-(m*x*x-x*sumb[m]+sumb_mul[m]);
printf("%I64d\n",sum);
//cout<<sum<<endl;
}
}
}