袖珍电子书：关于实数系的稠密性

进入本世纪，我国教育主管部门（国家教育部）颁发了”普通高中数学课程标准（实验）“指导文件（本文简称”文件“）。对于普通高中数学教学而言，这是一份纲领性指导文件，我们必须重视。
该”文件“对于高中阶段的数学课程给予了很高的评价：”高中数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础。同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。“坦率地说，我对”它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义“这句话最感兴趣。
该”文件“对高中数学课程的教学活动那个提出了具体的”建议“，其中第4条的内容是：”指数幂的教学，应在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例，引入有理指数幂及其运算性质，以及实数指数幕的意义及其运算性质，进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，并且可以让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程。“
我们要问，什么叫”用有理数逼近无理数”？怎么进一步体会这种“思想”？这种“说法”，根据何在？实际上，这句话涉及到对实数系”稠密性“的理解。在菲氏《微积分学教程》第一卷绪论第二节第9页证明了一个结论：在任意两个无理数之间必然存在有理数，反之亦然。由此，谈何”用有理数逼近无理数“？另一方面，菲氏《微积分学教程》绪论第四节第22页”以任意实数为指数的幂“显示了定义”指数幂‘“的数学复杂性（几乎用了3个页面）。很不幸的是，我国高中数学课程就是从难点”指数幂“入手，让学生进一步体会”用有理数逼近无理数“，混乱加上糊涂，如此这般，怎么”为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础“？又如何”提高全民族的素质“？
俄罗斯的10-11年级（相当于我国的高中阶段）的数学课程，在引入微积分初步之后，再讲授”指数幂“（是块”硬骨头“）是很有道理的。打好扎实的数学基础，”为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义“，这句话不断地回响在我们的耳边。
我国人口多，孩子多，因而，教育主管部门的文件应该是严肃的，要对千百万孩子们的未来负责。大家知道，高中阶段正是这批孩子们形成世界观的关键时期，传播“用有理数逼近无理数”的糊涂说教，如同把一条糊涂虫塞进孩子们的脑壳里面，使其终生受害。呜呼！
说明：孩子们进入大学，冠名国家级规划教材的《高等数学》以及《数学分析》对于“指数幂”这块硬骨头都是避而不谈，因而，让这条“指数幂”糊涂虫伴随着我们下一代孩子们的“终生”。既可悲、又可恨！我感断定，就目前情况看来，中国的年轻人的数学素养不如俄罗斯的年轻人。全民族的数学素养需要进一步提高。