俄罗斯为何把微积分下放到中学讲授?
2013-03-25 05:41
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在我们看来,在中学阶段讲授微积分是所谓“下放”,但是,在俄罗斯方面看来,在中学阶段讲授微积分是必须的,不是“下放”。这是为什么呢?
我们先把事情搞清楚,不能闭起眼瞎说话。根据北京师范大学数学科学学院的研究,俄罗斯中学10-11年级的《代数与数学分析初步》课程,共有六章内容。各章分别是:三角函数;导数和它的应用;原函数和积分;指数和对数函数;复习题;具有一定难度的习题。教材可以使用139学时完成(周学时数为3的基础课程(A)),也可以使用204学时完成(周学时数为5的典型课程(B))。该书编排特点是:先讲三角函数,按照历史的顺序编排微积分内容,指数函数和对数函数的学习安排在微积分之后。同时,教材在每一章的最后一节介绍相关历史知识。教材最大的特色是提供了适合于数学教学活动的丰富习题体系。
该教材主编A.Kolmogorov院士采用这种方式安排教材内容是有道理的,也是逻辑展开初等数学的需要。这种安排的优点是:还原了微积分学的历史原貌,书中有丰富的历史知识,类似讲授物理学的讲授,使得学生懂得微积分学的历史发展及其由来,同时,按照数学概念的内在逻辑来展开数学这门知识体系,使学生的知识结构比较扎实,不是“空中楼阁”。为什么这么说呢?
与我们国内情况相比,国内高中数学教材采用集中讲述全部初等函数(三角函数,指数函数与对数函数等),实际上,高三年级全部时间为迎接”高考“做准备,微积分知识(列为“选修课”)形同虚设。我们要问:在这种教学内容安排下,指数函数是怎么向学生交代的?也就要问:2的√2(无理数)次方是如何定义的?如果没有微积分学中的实数与极限概念,这一点是任何人都无法向学生们讲清楚的。这种“知识缺陷”(即没有微积分极限概念支撑的初等函数“空中楼阁”)始终存在于我国中学毕业生的脑壳之中。从这一点上来看,中国孩子们的数学知识结构不如俄罗斯孩子们“实”,我们比较”虚“,因为,孩子们头脑里面存在逻辑缺陷。那么,我们怎么办呢?
在《基础微积分》电子版第八章第一节第432页,J.Keisler给出如下定义:
DEFINITION
Let a and r be real,a >0. We define a的r次方(抱歉,r应该打在a的右上角,我不会打上去)等于st(a的K/H次方),where
K/H≈r。
这里,H与K是两个无限大的自然数,其比值无限地接近于实数r。我们只要能够保证以下条件成立:
K ≤ Hr < K+1
(两侧同时除以H,1/H为无穷小)
就可以了。实际上,a的K/H(超有理数)次方是学生们容易想象的。如此以来,我国中学生脑壳中的“逻辑缺陷”就消失了,北京超越了莫斯科。
说明:袖珍电子书涉及到中学数学教学的改革,这是我原先没有想到的。
我们先把事情搞清楚,不能闭起眼瞎说话。根据北京师范大学数学科学学院的研究,俄罗斯中学10-11年级的《代数与数学分析初步》课程,共有六章内容。各章分别是:三角函数;导数和它的应用;原函数和积分;指数和对数函数;复习题;具有一定难度的习题。教材可以使用139学时完成(周学时数为3的基础课程(A)),也可以使用204学时完成(周学时数为5的典型课程(B))。该书编排特点是:先讲三角函数,按照历史的顺序编排微积分内容,指数函数和对数函数的学习安排在微积分之后。同时,教材在每一章的最后一节介绍相关历史知识。教材最大的特色是提供了适合于数学教学活动的丰富习题体系。
该教材主编A.Kolmogorov院士采用这种方式安排教材内容是有道理的,也是逻辑展开初等数学的需要。这种安排的优点是:还原了微积分学的历史原貌,书中有丰富的历史知识,类似讲授物理学的讲授,使得学生懂得微积分学的历史发展及其由来,同时,按照数学概念的内在逻辑来展开数学这门知识体系,使学生的知识结构比较扎实,不是“空中楼阁”。为什么这么说呢?
与我们国内情况相比,国内高中数学教材采用集中讲述全部初等函数(三角函数,指数函数与对数函数等),实际上,高三年级全部时间为迎接”高考“做准备,微积分知识(列为“选修课”)形同虚设。我们要问:在这种教学内容安排下,指数函数是怎么向学生交代的?也就要问:2的√2(无理数)次方是如何定义的?如果没有微积分学中的实数与极限概念,这一点是任何人都无法向学生们讲清楚的。这种“知识缺陷”(即没有微积分极限概念支撑的初等函数“空中楼阁”)始终存在于我国中学毕业生的脑壳之中。从这一点上来看,中国孩子们的数学知识结构不如俄罗斯孩子们“实”,我们比较”虚“,因为,孩子们头脑里面存在逻辑缺陷。那么,我们怎么办呢?
在《基础微积分》电子版第八章第一节第432页,J.Keisler给出如下定义:
DEFINITION
Let a and r be real,a >0. We define a的r次方(抱歉,r应该打在a的右上角,我不会打上去)等于st(a的K/H次方),where
K/H≈r。
这里,H与K是两个无限大的自然数,其比值无限地接近于实数r。我们只要能够保证以下条件成立:
K ≤ Hr < K+1
(两侧同时除以H,1/H为无穷小)
就可以了。实际上,a的K/H(超有理数)次方是学生们容易想象的。如此以来,我国中学生脑壳中的“逻辑缺陷”就消失了,北京超越了莫斯科。
说明:袖珍电子书涉及到中学数学教学的改革,这是我原先没有想到的。
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