【RMQ】poj 3264 Balanced Lineup

首先是预处理，用一个DP解决。设a是要求区间最值的数列，f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1,0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。f[1,2]=5，f[1,3]=8，f[2,0]=2，f[2,1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把f[i,j]（j≥1）平均分成两段（因为j≥1时，f[i,j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段（长度都为2^（j-1））。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5
和6,8,1,2这两段。f就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j-1),j-1])。

接下来是得出最值，也许你想不到计算出f有什么用处，一般要想计算max还是要O(logn)，甚至O(n)。但有一个很好的办法，做到了O(1)。还是分开来。如在上例中我们要求区间[2,8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2,2]和f[5,2]得到。扩展到一般情况，就是把区间[l,r]分成两个长度为2^n的区间（保证有f对应）。直接给出表达式：

k:=trunc(ln(r-l+1)/ln(2));

ans:=max(F[l,k],F[r-2^k+1,k]);

这样就计算了从l开始，长度为2^k的区间和从r-2^k+1开始长度为2^k的区间的最大值（表达式比较繁琐，细节问题如加1减1需要仔细考虑），二者中的较大者就是整个区间[l,r]上的最大值。

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <string.h>
using namespace std;

int height[50005];
int n, q;
int mx[50005][16], mn[50005][16];

// Initialize arrays
void rmq_init(){
for(int i=0; i<n; i++){
mx[i][0] = i;
mn[i][0] = i;
}

for(int i=1; (1<<i)<=n; i++){
for(int j=0; (j+(1<<i)-1)<n; j++){
// Update minimal records
if(height[mn[j][i-1]] < height[mn[j+(1<<(i-1))][i-1]])
mn[j][i] = mn[j][i-1];
else
mn[j][i] = mn[j+(1<<(i-1))][i-1];
// Update maximal records
if(height[mx[j][i-1]] > height[mx[j+(1<<(i-1))][i-1]])
mx[j][i] = mx[j][i-1];
else
mx[j][i] = mx[j+(1<<(i-1))][i-1];
}
}
return;
}

// Response q query
int query(int left, int right){
int k = 0;
int length = right-left+1;
while((1<<(k+1)) < length)
k++;
int mini = min(height[mn[left][k]], height[mn[right-(1<<k)+1][k]]);
int maxi = max(height[mx[left][k]], height[mx[right-(1<<k)+1][k]]);
//cout<<"maxi: "<<maxi<<" mini: "<<mini<<endl;
return maxi-mini;
}

int main(){
scanf("%d%d", &n,&q);
for(int i=0; i<n; i++)
scanf("%d", height+i);
rmq_init();
for(int i=0; i<q; i++){
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
printf("%d\n", query(l-1, r-1));
}
//system("pause");
return 0;
}