数论概论笔记 第5章 整除性与最大公因数
2013-03-15 02:12
211 查看
素数、公因数和互质的定义不必再说。
欧几里得算法(辗转相除法):
要计算两个整数a和b的最大公因数,先令 r[-1] = a 且 r[0] = b,然后计算相继的商和余数
r[i - 1] = q[i + 1] ×r[i] + r[i + 1], (i = 0, 1, 2 ……),
知道某余数r[n + 1]为0,最后的非零余数r
就是a和b的最大公因数。
现证明该算法的正确性,证明如下:
现证明 r
是 a, b 的公因数;
已知 r[n - 1] = q[n + 1] × r
,则 r
整除 r[n - 1];
又由于r[n - 2] = q
× r[n - 1] + r
,则 r
整除 r[n - 2];
……
以此类推,可得 r
整除 a, b,则 r
为 a, b 的公因数;
现证明 r
是最大的公因数;
设有 d 整除 a, b,
由于 a = q[1] × b + r[1],,r[1] = a - q[1] × b, 故 d 整除 r[1];
同理,由于b = q[2] ×r[0] + r[2],d 整除 r[2];
……
以此类推,得 d 整除 r
, 则 r
≥ d。故 r
为最大公因数。
现证明该算法可在有限步内完成:
由于 r[i] 是对 r[i - 1] 取模的结果,有0 ≤ r[i] < r[i - 1];
由于 r[i] 为正整数且数列绝对单调,则 r
一定能在 r[1] 步内完成,即 r[n + 1] = 0;
综上所述,该算法正确且能够运行。
证明完毕。
欧几里得算法(辗转相除法):
要计算两个整数a和b的最大公因数,先令 r[-1] = a 且 r[0] = b,然后计算相继的商和余数
r[i - 1] = q[i + 1] ×r[i] + r[i + 1], (i = 0, 1, 2 ……),
知道某余数r[n + 1]为0,最后的非零余数r
就是a和b的最大公因数。
现证明该算法的正确性,证明如下:
现证明 r
是 a, b 的公因数;
已知 r[n - 1] = q[n + 1] × r
,则 r
整除 r[n - 1];
又由于r[n - 2] = q
× r[n - 1] + r
,则 r
整除 r[n - 2];
……
以此类推,可得 r
整除 a, b,则 r
为 a, b 的公因数;
现证明 r
是最大的公因数;
设有 d 整除 a, b,
由于 a = q[1] × b + r[1],,r[1] = a - q[1] × b, 故 d 整除 r[1];
同理,由于b = q[2] ×r[0] + r[2],d 整除 r[2];
……
以此类推,得 d 整除 r
, 则 r
≥ d。故 r
为最大公因数。
现证明该算法可在有限步内完成:
由于 r[i] 是对 r[i - 1] 取模的结果,有0 ≤ r[i] < r[i - 1];
由于 r[i] 为正整数且数列绝对单调,则 r
一定能在 r[1] 步内完成,即 r[n + 1] = 0;
综上所述,该算法正确且能够运行。
证明完毕。
int gcd(int a, int b) { return !b ? a : gcd(b, a % b); } int lcm(int a, int b) { return a / gcd(a, b) * b; }
相关文章推荐
- 《数论概论》读书笔记 第5章 整除性与最大公因子数
- C# 2010 从入门到精通 学习笔记4 第5章 使用复合赋值和循环语句
- 【学习笔记】《深入PHP - 面向对象、模式与实践》(第3版)——第5章 对象工具
- javascript高级程序设计--学习笔记3 (第5章)
- APUE第5章标准I/O库 笔记
- 第5章 构建Spring Web 应用程序 --笔记1
- 笔记:深入解析MapReduce架构设计与实现原理 第5章 Job提交与初始化
- 《看板方法-科技企业渐进变革成功之道》书摘笔记【第5章】
- Java学习笔记-《Java程序员面试宝典》-第5章Java Web-5.3框架(5.3.1-5.3.2)
- Oracle 9i/10g/11g编程艺术(2e)学习笔记【第5章】
- UNP学习笔记-第5章
- JAVA学习日记---Thinking in Java学习笔记,第5章总结
- 数据结构笔记整理第5章:树和二叉树
- 《利用Python进行数据分析》笔记---第5章pandas入门
- 数论概论笔记 第9章 同余式、幂与费马小定理
- javascript基础教程第8版---第5章窗口与框架---学习笔记
- 【笔记】 《js权威指南》- 第5章 语句
- CCNA中文笔记第5章:IP路由
- Java学习笔记-《Java程序员面试宝典》-第5章Java Web-5.1Servlet与JSP(5.1.8-5.17)
- Java核心技术笔记-第5章