陶哲轩实分析 习题 13.5.4

证明:这是因为空集无法成为 $X$ 中任意一个元素的邻域.


先叙述出类比.设 $(X,\tau)$ 是 Hausdorff 拓扑空间,并设 $(x^{(n)})_{n=m}^{\infty}$ 是 $X$ 中的序列,假定存在两点 $x,x'\in X$ 使 $(x^{(n)})_{n=m}^{\infty}$ 同时收敛到 $x,x'$,则必有 $x=x'$.

证明:假若 $x\neq x'$,则根据由于 $(X,\tau)$ 是 Hausdorff 的,可得存在 $x$ 的一个邻域 $P$ 和 $x'$ 的一个邻域 $Q$,使得 $P\bigcap Q=\emptyset$.但是这与拓扑收敛矛盾.

解:平凡拓扑空间就是一个例子.