袖珍电子书：一元实函数的导数定义

导数（Derivative）是什么？在微积分学中，导数是一个基本概念。在无穷小微积分学里面，导数的定义有些”异样“，需要我们多加思索与体会。在J.Keisler《基础微积分》第二章第一节第43、45页里有两个相关的定义如下：

1、DEFINITION

S is said to be the slope of f at a if

S= st((f(a+Δx)-f(a))/Δx)
for every nonzero infinitesimal .Δx.

（意思是，函数f在a处的斜率S是指S=st(......)。)

在此定义基础上，正式给出了导数的定义：

2、DEFINITION

Let f be a real function of one variable .The derivative of f is the new function f' whose value at x is the slope of f at x. In symbols ,
f'(x) = stt((f(x+Δx)-f(x))/Δx)
where the slope exists.

（意思是，假定f是一元实函数。f的导数是一个新函数f'，其在x处的值是函数f在x处的斜率（假定该斜率存在）。用符号表示为f'（x）=st(......)。）

首先需要指出，这两个定义都是在超实数*R上给出的，函数符号左上角的星号”*“都省去了，此省略是惯例，不至于影响到我们对定义内容的正确理解。这里，符号”st“是对其后括号内的超实数提取标准部分的算符，用其替代了取极限的过程。......一切都在静悄悄地进行中，没有（ε，δ）语言的喧闹。

在这里，为什么要把导数定义为”the new function“（新的函数）？这主要是为了强调导数是一个新定义出来的函数（有序偶集合），而Slope（斜率）强调的是其几何意义。那么，我们要问，这个”新版本“的导数定义与传统微积分学的（ε，δ）极限导数定义是不是”等价“呢？是不是互为”充要条件“？事实确实是这样的。在J.Keisler《无穷小微积分基础》教学辅导书的第五章第一节第73页给出了两者等价的数学证明。

导数是运动体瞬时变化率（Instantaneous rate of change)的数学抽象。但是，我们需要将抽象的数学概念与具体的物理概念加以区分。在菲氏《微积分学教程》第一卷第一章第一节第28页有一段话如下：”在数学上我们不顾及到所考察的量的物理意义，仅关心于表示这个量的数字，量的物理意义仅当数学被应用时，始再获得重要性。这样，对于我们来说，变量仅为赋予数值的符号而已。“五十多年前，这句话使我大为震惊，对我的影响颇大，至今难忘（在浩瀚文字里面找出了这段话）。

导数的定义涉及无穷小数量的应用，更加适合人们关于瞬时变化率的直观概念。在这里，我们要认识到：导数的无穷小定义与其（ε，δ）极限定义是完全等价的，不是”标新立异，自主创新“的产物。数学是统一的，两种表现形式不同的微积分是相互”内容对等“的，本质上是等同的，只是表现手法不同而已。

说明：今日是”三八国际妇女节“。我不知道无穷小有没有女性读者，但我还是祝愿女性同袍节日快乐！