陶哲轩实分析 定理 13.3.5 :紧致度量空间上的连续函数一致连续

证明:当 $f$ 是一致连续时,$f$ 显然是连续的.我们主要证明 $f$ 连续时一致连续.我们采用反证法,假若 $f$ 不是一致收敛的,意味着无论如何在 $X$ 中都存在两个点 $x_1$,$x_2$,其中 $d_X(x_1,x_2)=\delta$，无论正实数 $\delta$ 多么小,$d_Y(f(x_1),f(x_2))\geq\varepsilon$,其中     $\varepsilon$ 是一个给定的正实数.

但是这样我们就容易在 $f(X)$ 中构造出一个没有收敛子列的序列(怎么构造?),这与 $f(X)$ 的紧致性矛盾(为什么 $f(X)$ 是紧致的?),可见假设不成立,即 $f$ 是一致连续的.