陶哲轩实分析 习题 12.5.12

设 $(X,d_{disc})$ 是具有离散度量 $d_{disc}$ 的度量空间.

\begin{proof}
即证明 $X$ 的每个柯西列都收敛到 $X$ 中的一个元素.而事实上,$X$ 中的任意一个柯西列迟早都是同一个元素(为什么?),当然这个柯西列最终会收敛到这个元素.
\end{proof}

\begin{proof}
当 $X$ 是有限集的时候,$X$ 是紧致的.当 $X$ 是无限集的时候,$X$ 不是紧致的.证明很容易.
\end{proof}