陶哲轩实分析 推论 12.5.9

\begin{proof}假设 $\bigcap_{n=1}^{\infty}K_n$ 是空集,则
$$
K_1\backslash\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}K_n\right)=K_1.
$$
根据摩根律,
$$
K_1\backslash\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}K_n\right)=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(K_1\backslash
K_n\right).
$$
于是我们得到
$$
\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(K_1\backslash K_n\right)=K_1
$$
由于 $\forall n\in \mathbf{N}^{+}$, $K_1\backslash K_n$ 是 $K_1$ 上的开集(为什么?提示:$K_1\backslash K_n$ 在 $K_1$ 上的所有边界点也是 $K_n$ 的边界点,由于 $K_n$的紧致性,这些边界点都属于 $K_n$,因此都已经不属于 $K_1\backslash K_n$.),因此 $K_1$ 已经被开集族 $(K_1\backslash K_n)_{n\in\mathbf{N}^{+}}$ 覆盖,但是易得这个开集族中的任何有限个开集都无法覆盖 $K_1$ (因为 $\forall n\in\mathbf{N}^{+}$,$K_n$ 非空),这与 $K_1$ 的紧致性矛盾.可见,$\bigcap_{n=1}^{\infty}K_n$ 不是空集.\end{proof}