点积和叉积

点积：指数量积（也称为标量积、点积、点乘或内积）是接受在实数
R 上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。
叉积：也被称为矢量积、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直。

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定义：
点积：
两个(来自正交规范向量空间)向量
a = [a1, a2, … , an] 和
b = [b1, b2, … , bn] 的点积定义为:


这里的 Σ 指示总和符号。

例如，两个三维向量 [1, 3, ?5] 和 [4, ?2, ?1] 的点积是


使用矩阵乘法并把(纵列)向量当作
n×1
矩阵，点积还可以写为:


这里的 aT 指示矩阵 a 的转置。

使用上面的例子，这将结果一个 1×3 矩阵(就是行向量)乘以 3×1 向量(通过矩阵乘法的优势得到 1×1 矩阵也就是标量):


叉积：
两个向量 a 和 b 的叉积写作 a ×
b （有时也被写成 a ∧ b，避免和字母 x 混淆）。叉积可以被定义为：


在这里 θ 表示 a 和 b 之间的角度（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。而
n 是一个与 a 和 b 均垂直的单位矢量。

这个定义有一个问题，就是同时有两个单位向量都垂直于 a 和 b：若
n 满足垂直的条件，那么 -n 也满足。

“正确”的向量由向量空间的方向确定，即按照给定直角坐标系 (i, j,
k) 的左右手定则。若 (i, j,
k) 满足右手定则，则 (a,
b, a × b) 也满足右手定则；或者两者同时满足左手定则。

一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，

当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。由于向量的叉积由坐标系确定，所以其结果被称为伪向量。

给定直角坐标系的单位向量
i，j，k 满足下列等式：

i × j = k           j ×
k = i           k × i =
j通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

a = a1i + a2j +
a3k = [a1, a2,
a3]b = b1i + b2j +
b3k = [b1, b2,
b3]则

a × b = [a2b3 ? a3b2, a3b1 ? a1b3, a1b2 ? a2b1]上述等式可以写成矩阵的行列式的形式：


叉积也可以用四元数来表示。注意到上述
i，j，k 之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量 [a1,
a2, a3] 表示成四元数 a1i +
a2j + a3k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。

拉格朗日公式

这是一个著名的公式，而且非常有用：
a × (b × c) =
b(a · c) ? c(a ·
b),可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。

这里给出一个和梯度相关的一个情形：


这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解


的特殊情形。

另一个有用的拉格朗日恒等式是：


这是一个在四元数代数中范数乘法
| vw | = | v | | w | 的特殊情形。

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几何意义：
点积：
在欧几里得空间中，点积可以直观地定义为


,这里 |x| 表示 x 的范数（长度），θ 表示两个向量之间的角度。

注意：点积的形式定义和这个定义不同；在形式定义中，a 和
b 的夹角是通过上述等式定义的。

这样，两个互相垂直的向量的点积总是零。若 a 和 b 都是单位向量（长度为 1 ），它们的点积就是它们的夹角的余弦。那么，给定两个向量，它们之间的夹角可以通过下列公式得到：


这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这里，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于 1 的，可以简单地转化成一个角度值。

需要注意的是，点积的几何解释通常只适用于

(

)。在高维空间，其他的域或模中，点积只有一个定义，那就是


点积可以用来计算合力和功。若
b 为单位向量，则点积即为 a 在方向 b 的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。








A ?
B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) 是
A 到
B的投影。
叉积：

叉积的长度 |a × b| 可以解释成以 a 和
b 为边的平行四边形的面积。进一步就是说，三重积可以得到以
a，b，c 为边的平行六面体的体积。