奇妙的超滤器（Ultrafilter），公理简介

从数学发展史来看，1937年法国HenriCantan(老嘉当)首次将滤器概念引入数学，1939年法国布尔巴基（Bourbaki）学派将其引入一般拓扑学，随后，滤器的概念在数理逻辑模型论领域中“大行其道”，特别是，在1966年之后，滤器在构建超实数*R方面成为重要的数学工具。那么，滤器到底是什么呢？
根据布尔巴基学派，自然数集N上的滤器F的公理系统如下：

交集公理：如果A，B∈
F，则交集A∩ B ∈ F

超集公理：如果A∈ F且A⊊B，则B∈
F

超滤公理：对任意非空集A⊊N，那么，集合A与A关于N的补集合其中必有一个属于滤器F，则该滤器F称为超滤器（Ultrafilter)。超滤器不含空集。

注意：如果空集属于滤器F，则滤器F就变成了集合N的幂集（PowerSet），包含N的所有子集。如果滤器不含有空集合，则该滤器称为真滤器。每个滤器必包含集合N。而集合{N}是最小的滤器。

滤器交集公理的作用是最关键的。比如，假定r、s、t是三个人，r与s是好朋友，s与t也是好朋友，但是，r与t两个人很可能根本不认识。再假定，e、s、t是三个序列，r与s的协同集是A，s与t的协同集是B，那么，r与t的协同集C=
A∩B，也属于滤器F，因而，r与t必然也是等价的。由此可见，等价的序列能够形成一个“等价类”，即一个超实数。

实际上，超滤器里面的元素集合都是包含自然数集合N的无穷子集合，可以说是“几乎处处”（Almost
everywhere），分布很广。我们记得，两个序列的通项在其所谓的“协同集”（Agreement Set）上处处相等，两者就称为是“等价”的序列。我们猜想，哥西的幽灵对此种分类方式一定会“拍案叫绝”。C历史上来看，现代无穷小微积分就是从这里开始的。

在抽象拓扑学中，滤器的用处非常广泛，可以定义出许多重要概念。这里，我们就不去说了。滤器概念看上去很抽象，细细着琢磨、体会一下，不难发现，其中的“奥妙”之处可不少呢！

今天是阴历的除夕。在此，我预祝大家新春万事如意，心想事成！