陶哲轩实分析 习题10.2.7 导函数有界的函数一致连续

设$f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$是可微函数，并且$f'$是有界的，证明$f$是一致连续的.

证明:设
\begin{align*}
a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots
\end{align*}
是$\mathbf{R}$上的任意一个数列.设
\begin{align*}
b_1,b_2,\cdots,b_n,\cdots
\end{align*}
是$\mathbf{R}$上的另一个数列，且满足
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0
\end{align*}
我们只用证明
\begin{equation}\label{eq:123}
\lim_{n\to\infty}(f(a_n)-f(b_n))=0
\end{equation}
而根据微分中值定理，
\begin{align*}
|\frac{f(a_n)-f(b_n)}{a_n-b_n}|\leq M
\end{align*}
因此很容易得到\ref{eq:123}成立.