2013寒假练习 1008：Putting Apples

地址：http://acm.bit.edu.cn/mod/programming/view.php?a=494

DP好题。将n个苹果分入k的盘子，盘子可以空着，问不同的方法总数（1,2,2和2,1,2算一种）

建立dp[a][b],表示将a个苹果分入b个盘子的方法总数。初始条件为dp[a][0](0<a<101)=0,dp[0][a]](0<a<101)=1(很科学，将a个苹果分入0个盘子——不行，0种，将0个苹果分入a个盘子——全不放，1种）。那么状态转移方程是？

我们将dp[a][b]的这些方法分成两种。一种是含0的，即有盘子没放苹果的情况。这一部分情况与dp[a][b-1]的所有情况一一对应。另一种是所有盘子都至少装一个的情况，这一部分情况与dp[a-b][b]的所有情况一一对应，对应方法是每个盘子都差一个。故dp[a][b] = dp[a][b-1] + dp[a-b][b] (a>=b)及dp[a][b] = dp[a][b-1] (a<b)。

这样说可能还不好理解，我们拿实例来看：如样例 dp[7][3]=8 ，这八种方法分别是(1,1,5)（1,2,4)(1,3,3)(2,2,3)(0,1,6)(0,2,5)(0,3,4)(0,0,7)其中(1,1,5)(1,2,4)(1,3,3)(2,2,3)这四种属于第二类情况，与dp[7-3][4]的四种情况一一对应，即（0,0,4）（0,1,3）（0,2,2）,(1,1,2)，可以看到，对应关系为-1，-1，-1每个篮子都少一个；（0,1,6）,（0,2,5）,（0,3,4）（0,0,7）这四种都属于第一类情况，与dp[7][3-1]的四种情况一一对应即（1,6）,(2,5),(3,4),(0,7)，可以看到，对应关系为少了一个空盘子。因此dp[7][3]=dp[4][3]+dp[7][2]=8.当然，dp[4][3]和dp[7][2]也可以继续状态转移，故可以DP求解。

注意到状态转移方程要求的是上一行和这一行的前面的状态，故二重循环行嵌套列可以将dp数组求出。

（神方法啊，谁想出来的。。）

#include<iostream>
using namespace std;
int dp[101][101];
int main()
{
int i,j,n,k;
for(i=0;i<101;i++)               //初始条件
{
dp[i][0]=0,dp[0][i]=1;
}
for(i=1;i<101;i++)
{
for(j=1;j<101;j++)
{
if(i>=j) dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1];    //状态转移方程
else   dp[i][j]=dp[i][j-1];
}
}
while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)
{
printf("%d\n",dp
[k]);
}
return 0;
}