POJ-1679 The Unique MST 次小生成树
2013-01-31 12:45
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题目链接:http://poj.org/problem?id=1679
求是否存在多个最小生成树,其实就是求次小生成树的权值是否等于最小生成树。
最小生成树的两个性质:
1.切割性质:假定所有边权值不相等,设S为即非空集合也非全集V的子集,边e是满足一个端点在S内,另一个端点不在S内的所有边中权值最小的一个,则图G的所有生成树均包含e。
2.回路性质:假定所有边权值不相等,设C是图G中的任意回路,边e是C上权值最大的边,则图G的所有生成树均不包含e。
求次小生成树一遍朴素的做法就是枚举最小生成树中的边删去,然后再在图上求最小生成树,复杂度O(n*m*lgm);对于稀疏图来说,复杂度还是不高的。还有一种更好的方法,就是利用性质2。在最小生成树上家一条边u-v之后,图上会出现一条回路,因此删除的必须在最小生成树上u-v的路径上,而且是这条路径上的最长边。可以证明,次小生成树一定可以由最小生成树加一条边再删一条边得到(边交换)。因此只需求出”每对节点之间的最小瓶颈路“之后,然后依次枚举m条边就可以了。总复杂度O(n^2);
求是否存在多个最小生成树,其实就是求次小生成树的权值是否等于最小生成树。
最小生成树的两个性质:
1.切割性质:假定所有边权值不相等,设S为即非空集合也非全集V的子集,边e是满足一个端点在S内,另一个端点不在S内的所有边中权值最小的一个,则图G的所有生成树均包含e。
2.回路性质:假定所有边权值不相等,设C是图G中的任意回路,边e是C上权值最大的边,则图G的所有生成树均不包含e。
求次小生成树一遍朴素的做法就是枚举最小生成树中的边删去,然后再在图上求最小生成树,复杂度O(n*m*lgm);对于稀疏图来说,复杂度还是不高的。还有一种更好的方法,就是利用性质2。在最小生成树上家一条边u-v之后,图上会出现一条回路,因此删除的必须在最小生成树上u-v的路径上,而且是这条路径上的最长边。可以证明,次小生成树一定可以由最小生成树加一条边再删一条边得到(边交换)。因此只需求出”每对节点之间的最小瓶颈路“之后,然后依次枚举m条边就可以了。总复杂度O(n^2);
//STATUS:C++_AC_0MS_368KB #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> #include<math.h> #include<iostream> #include<string> #include<algorithm> #include<vector> #include<queue> #include<stack> using namespace std; #define LL __int64 #define pdi pair<double,int> #define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b)) #define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b)) #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define lson l,mid,rt<<1 #define rson mid+1,r,rt<<1|1 const int N=110,M=1000000,INF=0x3f3f3f3f,MOD=1999997; const LL LLNF=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL; const double DNF=100000000; struct Edge{ int u,v,w; }e[N*N]; int p ,vis ,mst ,d ,w ; int T,n,m,mt; int cmp(const Edge& a,const Edge& b) { return a.w<b.w; } int find(int x){return p[x]==x?x:p[x]=find(p[x]);} int dfs(int& s,int u,int max) { int v; for(v=1;v<=n;v++){ if(mst[u][v] && !vis[v]){ vis[v]=1; d[s][v]=Max(max,w[u][v]); dfs(s,v,d[s][v]); } } return 0; } int Kruskal() { int i,j,x,y,sum=0; for(i=1;i<=n;i++)p[i]=i; sort(e,e+m,cmp); mem(mst,0); for(i=0;i<m;i++){ x=find(e[i].u); y=find(e[i].v); if(x!=y){ sum+=e[i].w; p[y]=x; mst[e[i].u][e[i].v]=mst[e[i].v][e[i].u]=1; } } return sum; } int main() { // freopen("in.txt","r",stdin); int i,j,a,b,c,ok,ans; scanf("%d",&T); while(T--) { mt=0; mem(w,-1); scanf("%d%d",&n,&m); for(i=0;i<m;i++){ scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); w[a][b]=w[b][a]=c; e[i].u=a,e[i].v=b,e[i].w=c; } ans=Kruskal(); for(i=1;i<=n;i++){ mem(vis,0);vis[i]=1; dfs(i,i,0); } for(i=0,ok=1;i<m;i++) if(d[e[i].u][e[i].v]==e[i].w && !mst[e[i].u][e[i].v]){ok=0;break;} if(ok)printf("%d\n",ans); else printf("Not Unique!\n"); } return 0; }
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