求素数方法

(一)      一般求素数方法（对某些OJ 来说会超时）
/*求素数的三种方法
一：for(i=2;i<=(n-1);i++)
if（n%i＝＝0）i 在2 到n-1 之间任取一个数,如果n 能被整除则不是素数，否则就是素数
二：for(i=2;i<n/2;i++)
if(n%i==0) /*i 在2 到n/2 之间任取一个数,如果n 能被整除则不是素数，否则就是素数

三：for(i=2;i<(n=sqrt(n));i++)
if(n%i==0) /*i 在2 到sqrt(n)之间任取一个数,如果n 能被整除则不是素数，否则就是素数,
在下省了下面的输出步骤*/
(二)    筛法求素数
筛法，是求不超过自然数N（N＞1）的所有质数的一种方法。据说是古希腊的埃拉托
斯特尼（Eratosthenes，约公元前274—194 年）发明的，又称埃拉托斯特尼筛子。
具体做法是：先把N 个自然数按次序排列起来。1 不是质数，也不是合数，要划去。第
二个数2 是质数留下来，而把2 后面所有能被2 整除的数都划去。2 后面第一个没划去的数
是3，把3 留下，再把3 后面所有能被3 整除的数都划去。3 后面第一个没划去的数是5，
把5 留下，再把5 后面所有能被5 整除的数都划去。这样一直做下去，就会把不超过N 的
全部合数都筛掉，留下的就是不超过N 的全部质数。因为希腊人是把数写在涂蜡的板上，
每要划去一个数，就在上面记以小点，寻求质数的工作完毕后，这许多小点就像一个筛子，
所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛”，简称“筛法”。（另一种解释是当时的
数写在纸草上，每要划去一个数，就把这个数挖去，寻求质数的工作完毕后，这许多小洞就
像一个筛子。）
1.开一个大的bool 型数组prime[]，大小就是n+1 就可以了.先把所有的下标为奇数的标为true,
下标为偶数的标为false.
2.然后：
for( i=3; i<=sqrt(n); i+=2 )
{    if(prime)
for( j=i+i; j<=n; j+=i )
prime[j]=false;
}
3.    最后输出bool 数组中的值为true 的单元的下标，就是所求的n 以内的素数了。
原理很简单，就是当i 是质(素)数的时候，i 的所有的倍数必然是合数。如果i 已经被判
断不是质数了，那么再找到i 后面的质数来把这个质
数的倍数筛掉。
一个简单的筛素数的过程：n=30。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
第  1  步过后2 4 ... 28 30 这15 个单元被标成false,其余为true。
第  2  步开始：
i=3;  由于prime[3]=true,  把prime[6], [9], [12], [15], [18], [21], [24], [27], [30]标为false.
i=4;  由于prime[4]=false,不在继续筛法步骤。
i=5;  由于prime[5]=true,  把prime[10],[15],[20],[25],[30]标为false.
i=6>sqrt(30)算法结束。
第  3  步把prime[]值为true 的下标输出来：
for(i=2; i<=30; i++)

if(prime) printf("%d ",i);
结果是  2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
这就是最简单的素数筛选法，对于前面提到的10000000 内的素数，用这个筛选法可以大
大的降低时间复杂度。把一个只见黑屏的算法
优化到立竿见影，一下就得到结果。关于这个算法的时间复杂度，我不会描述，没看到过类
似的记载。只知道算法书上如是说：前几年比
较好的算法的复杂度为 o(n),空间复杂度为 o(n^(1/2)/logn).另外还有时间复杂度为 o(n/logn),
但空间复杂度为O(n/(lognloglogn))的算法。
我水平有限啦，自己分析不来。最有说服力的就是自己上机试一试。下面给出这两个算法的
程序：
//用了筛法的方法：
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define N 10000001
bool prime
;
int main()
{
int i, j;
for(i=2; i<N; i++)
{
if(i%2==0)//偶数
{
prime[i]=false;
}
else//奇数
{
prime[i]=true;
}
}
for(i=3; i<=sqrt(N); i+=2)
{
if(prime[i])//奇数
{
for(j=i+i;j<N;j+=i)//奇数的倍数
{
prime[j]=false;
}
}
}
for(i=2;i<100;i++)//由于输出将占用太多io 时间，所以只输出2-100 内的素数。可以把100
改为N
{
if(prime[i])
{

printf("%d ",i);
}
}
printf("\n");
return 0;
}
(三)
算法，这是一种利用了概率和费马小定理的算法设计，有点玄乎吧，其实本人也是刚
接触这种算法，这是一种纯数学的解法，如果各位不懂，当学习一下数学也好啊
好，我们往下讲
首先了解基本的数学知识，费马小定理：
若n 是素数，则对所有1≤a≤n-1 的整数a，有a^(n-1)mod n=1;
作者Fermat  很牛的数学家，在他在世的时候好像还没有计算机，不过今天我们要用
这个定理来设计算法
分析这个定理可以知道，如果一个数是质数，那么它必定满足任意一个整数属于(1，n-1)
范围有a^(n-1)mod n=1，不懂？我们取逆否命题试试看，就是只要存在在(1，n-1)范围中
的整数a  使得a^(n-1)mod  n=1 不成立，那么这个数就不是素数，相信明白了吧，我们要确
定
一个数是否是素数，只要随机生成一系列的数a，如果这些数a 使N 满足费马小定理的话
那么就可以认定它是素数了，当然有个前提，就是这个推导只能在计算机领域内使用
就跟我上次讲的用哥德巴赫猜想优化一道算法题目一样，在计算机可以运算的数的范围
内可用，请不要在其他科学领域类使用
/*

*费马小定理的应用，求质数
*Miller-Rabin 算法
*2008 12 27
*/
#include"stdio.h"
#include"stdlib.h"
#include"math.h"
#include"time.h"

int Btest(int a,int n)
{
int s = 0;
int t = n-1;
int i , j , k;
int x = 1;
int y;
i = 1;
do{
s++;
t = t / 2;
}while((t%2)!=1);