FZU 1683 纪念SlingShot ★(矩阵 && 求和 && 线性变换)

题目大意：已知 F（n）=3 * F（n-1）+2 * F（n-2）+7 * F（n-3），n>=3，其中F（0）=1，F（1）=3，F（2）=5，对于给定的每个n，输出F（0）+ F（1）+ …… + F（n） mod 2009。

题目链接：http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1683

矩阵加速递推求解的一道经典好题。

首先由 

 我们可以很快的找到递推转移矩阵：



PS:上面的图中(F(n-1), F(n-2), F(n-3) ) 应改为 (F(n+1), F(n), F(n-1) )

那么在log(n)的时间内便可求出F(n),但是求sigma(F(n))的话还不能一个一个求。

我们借助这道题中的第二种线性变换的方法：S(n+1)  = S(n) + F(n+1) ，并且把加到之前的转移矩阵中加一维：





这样我们便可以在log(n)时间内求出解了~~

注：理解并记住这种重要的方法！

#include
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#include
#define MID(x,y) ((x+y)>>1)
using namespace std;
typedef long long LL;

const int MAX = 4;
struct Mat{
int row, col;
int mat[MAX][MAX];
};
//initialize square matrix to unit matrix
Mat unit(int n){
Mat A;
A.row = A.col = n;
memset(A.mat, 0, sizeof(A.mat));
for (int i = 0; i < n; i ++)
A.mat[i][i] = 1;
return A;
}
//return A*B%mod
Mat mul(Mat A, Mat B, int mod){
Mat C;
C.row = A.row;
C.col = B.col;
for (int i = 0; i < A.row; i ++){
for (int j = 0; j < B.col; j ++){
C.mat[i][j] = 0;
for (int k = 0; k < A.col; k ++)
//注意这里要保证乘法不溢出，否则还需要设计特殊的乘法模
C.mat[i][j] += (A.mat[i][k] * B.mat[k][j]);
if (C.mat[i][j] >= mod)
C.mat[i][j] %= mod;
}
}
return C;
};
//return A^n%mod
Mat exp_mod(Mat A, LL n, int mod){
Mat res = unit(A.row);
while(n){
if (n & 1){
res = mul(res, A, mod);
}
A = mul(A, A, mod);
n >>= 1;
}
return res;
}
int main(){
int mm[4][4] = {{1, 1, 0, 0}, {0, 3, 2, 7}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}};
int mn[4] = {4, 5, 3, 1};
LL m, n;
scanf("%I64d", &m);
Mat loop;
loop.row = loop.col = 4;
for (int j = 0; j < 4; j ++)
for (int k = 0; k < 4; k ++)
loop.mat[j][k] = mm[j][k];
Mat init_loop = loop;
Mat res;
res.row = 4;
res.col = 1;
for (int j = 0; j < 4; j ++)
res.mat[j][0] = mn[j];
Mat init_res = res;

for (long long i = 1; i <= m; i ++){
scanf("%I64d", &n);
if (n == 1){
printf("Case %I64d: %d\n", i, 4);
continue;
}
else if (n == 0){
printf("Case %I64d: %d\n", i, 1);
continue;
}
loop = init_loop;
loop = exp_mod(loop, n-1, 2009);

res = init_res;
res = mul(loop, res, 2009);
printf("Case %I64d: %d\n", i, res.mat[0][0]);
}
return 0;
}