陶哲轩实分析习题9.7.2 不动点定理的最简单情形

设$f:[0,1]\to [0,1]$是连续函数，证明存在实数$x\in [0,1]$使得$f(x)=x$.

证明:令
\begin{align*}
g(x)=f(x)-x
\end{align*}

则$g$在$[0,1]$连续， 假设不存在$\xi\in [0,1]$使得$g(\xi)=0$,则$g(1)=f(1)-1<0$,因此必有$g(0)<0$(否则与连续函数的介值定理矛盾).即$f(0)<0$,这与$f:[0,1]\to [0,1]$矛盾.