快速选择(quick select) + 线性时间选择(linear-time select) - 求出n个数中第k大的数

利用快速排序中partition函数，很容易求出n个数中第k大的数，因此在划分后如下图。



左半（包括q）有j = q - p + 1个元素。如果k < j，只需要在左半找第k大元素；如果k > j，需要在右半找第k - j大元素。可以证明，期望时间复杂度为O(n)。

int partition ( int p , int q)
{
int x = a[p], i = p;
for(j = p +1; j <= q; j ++)
if(a[j] <= x) swap (a[++i], a[j]);
swap (a[p], a[i]);
return i;
}

int select ( int p , int r , int k){
if(p == r) return p;
int i = p + rand()%(r–p+1); swap (a[i], a[p]);
int q = partition (p , r);
int j = q– p + 1;
if(k == j) return q;
else if(k < j) return select (p , q , k);
else select (q+1 , r , k-j);
}

快速选择在期望意义下是线性的，事实上还存在最坏情况线性的算法。它由Blum, Floyd, Pratt, Rivest和Tarjan于1973年提出。

它的思想是：pivot不是随机选择，而是采取某种确定性的策略，使得每次递归调用后保证长度至少缩短为原来的a倍(a < 1)。这样，T(n)<= T(an)+O(n)，由主定理得T(n)=O(n)。



如图8.1.2所示，把所有元素分成5个一组共约n/5组，每组用暴力法求出中位数（图中为中心行白点所示），一共有n/5个中位数。用递归法求出这n/5个数的中位数x，则所有k个中位数中至少有约n/10个数比x小。由于每个中位数在自己组中至少有3个数不比它大（也就不会比x大），因此至少有3(n/10) = 0.3n个数比x小。更精细的分析指出，当n>=75时至少有n/4个数比x小。同理，也至少有n/4个数比x大。求n/5个数的中位数需要T(n/5)的时间，而划分后的选择不超过T(3n/4)，因此T(n)>=T(n/5)+T(3n/4)+O(1)，解为T(n)=O(n)。