整数划分问题

1、

已知正整数n，求解将n划分成最大因子不超过m的划分的个数，用f(n,m)表示，其中m>=1,n>=1。

分情况讨论：

1> m==1或n==1时，只能将n表示成全是1的形式

2> 一般情况

1) m>n时，这种情况是没有意义的，由于划分成的各个数字都是正整数，所以f(n,m)=f(n,n)

2) m==n时，f(n,m)=f(n,m-1)+1，由于等于n的情况只有一种，所以可以写成不超过m-1的个数+等于m的个数（后者只有1种）

3) m<n时，f(n,m)=f(n,m-1)+f(n-m,m)，对于这个方程的解释可以这样理解：f(n,m)分成两部分，第一部分表示最大因子不超过m-1的个数，第二部分表示最大因子等于m的个数。其实，第二部分表示我们已经从中分出了一个m，剩下的用f(n-m,m)来表示。举个例子：

6的划分有：

m 划分

6 6

5 5+1

4 4+2， 4+1+1

3 3+3，3+2+1，3+1+1+1

2 2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1

1 1+1+1+1+1+1

f(6,5)=f(6,4)+f(1,4)，其中f(1,4)的含义是：已经分出了一个5，剩下的表示方法数目，剩下的为1，所以f(1,4)=f(1,1)=1，只有一种表示方法，这其实是一种组合。

再比如：f(10,4)=f(10,3)+f(6,4)，其实f(6,4)表示的是已经分离出了一个4，剩下的划分的种类数为f(6,4)，分离出的4并不占划分的种类数。

这样就可以写成递归的形式。