SGU 206 Roads（KM）

题目链接：http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=206

题意：给定N个城市和M条道路，其中前N-1条道路是大路，其它都是小路，并保证大路可构成N个城市的生成树。第i条路费用为cost[i]，要求你谎报费用（设第i条路上谎报的费用为report[i]），使得对费用数组report来说，N-1条大路恰为最小生成树，并且sigama(abs(cost[i]-report[i]]))尽可能小。

思路：边可以分为两类，一种是前n-1条边，构成了一个生成树，其他的边是另外一种边。显然如果我们要达到最小生成树的目的，就要让生成树上的边变小，而另外的边变大。从第n条边到第m条边，每条边如果加入那个生成树中，必然会构成了一个环，而我们不想让这条边去替换环中的任意一条边，所以这条边必须比任意环中的边要大。假设环中的某边为i，这条边为j， 权值分为w[i], w[j]，修改后的权值为 w[i]-x[i]，w[j]+x[j]必然有w[i]-x[i]<=w[j]+x[j] 从而有x[i]+x[j]>=w[i]-w[j]。然后目的是sum(x[i])1<=i<= m最小。观察x[i]+x[j]>=w[i]-w[j]类似KM。因为由可行点标的的定义，图中的任意一个完全匹配，其边权总和均不大于所有点的标号之和，而仅由可行边组成的完全匹配的边权总和等于所有点的标号之和。而我们在寻找可行边的过程，每条边从不是可行边到变为可行边，会使边两端的可行顶标之和减小，最后到达最大权匹配时就是顶标和最小的时候。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
#include <map>

#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define abs(x) ((x)>=0?(x):-(x))
#define i64 long long
#define u32 unsigned int
#define u64 unsigned long long
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define CLR(x) x.clear()
#define ph(x) push(x)
#define pb(x) push_back(x)
#define Len(x) x.length()
#define SZ(x) x.size()
#define PI acos(-1.0)
#define sqr(x) ((x)*(x))

#define FOR0(i,x) for(i=0;i<x;i++)
#define FOR1(i,x) for(i=1;i<=x;i++)
#define FOR(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define DOW0(i,x) for(i=x;i>=0;i--)
#define DOW1(i,x) for(i=x;i>=1;i--)
#define DOW(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

void RD(int &x){scanf("%d",&x);}
void RD(i64 &x){scanf("%I64d",&x);}
void RD(u32 &x){scanf("%u",&x);}
void RD(double &x){scanf("%lf",&x);}
void RD(int &x,int &y){scanf("%d%d",&x,&y);}
void RD(i64 &x,i64 &y){scanf("%I64d%I64d",&x,&y);}
void RD(u32 &x,u32 &y){scanf("%u%u",&x,&y);}
void RD(double &x,double &y){scanf("%lf%lf",&x,&y);}
void RD(int &x,int &y,int &z){scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);}
void RD(i64 &x,i64 &y,i64 &z){scanf("%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&z);}
void RD(u32 &x,u32 &y,u32 &z){scanf("%u%u%u",&x,&y,&z);}
void RD(double &x,double &y,double &z){scanf("%lf%lf%lf",&x,&y,&z);}
void RD(char &x){x=getchar();}
void RD(char *s){scanf("%s",s);}
void RD(string &s){cin>>s;}

void PR(int x) {printf("%d\n",x);}
void PR(i64 x) {printf("%I64d\n",x);}
void PR(u32 x) {printf("%u\n",x);}
void PR(double x) {printf("%.4lf\n",x);}
void PR(char x) {printf("%c\n",x);}
void PR(char *x) {printf("%s\n",x);}
void PR(string x) {cout<<x<<endl;}

const int INF=1<<30;
const int N=405;
int n,m,nx,ny,visitX
,visitY
,match
;
int G

,g

;
int X
,Y
,Z
;

int DFS(int pre,int u,int v,int id)
{
if(u==v) return 1;
int i;
FOR1(i,n) if(i!=pre&&g[u][i])
{
if(DFS(u,i,v,id))
{
G[g[u][i]][id]=Z[g[u][i]]-Z[id];
return 1;
}
}
return 0;
}

int find(int u)
{
visitX[u]=1;
int v;
FOR1(v,ny) if(!visitY[v]&&X[u]+Y[v]==G[u][v])
{
visitY[v]=1;
if(match[v]==-1||find(match[v]))
{
match[v]=u;
return 1;
}
}
return 0;
}

void KM()
{
clr(match,-1);
int i,j,x,y;
clr(Y,0);
FOR1(i,nx) X[i]=INF;
FOR1(x,nx)
{
while(1)
{
clr(visitX,0);
clr(visitY,0);
if(find(x)) break;
y=INF;
FOR1(i,nx) if(visitX[i]) FOR1(j,ny) if(!visitY[j])
{
y=min(y,X[i]+Y[j]-G[i][j]);
}
FOR1(i,nx) if(visitX[i]) X[i]-=y;
FOR1(i,ny) if(visitY[i]) Y[i]+=y;
}
}
}

int main()
{
RD(n,m);
int i,j,x,y;;
FOR1(i,m) RD(X[i],Y[i],Z[i]);
FOR1(i,n-1) g[X[i]][Y[i]]=g[Y[i]][X[i]]=i;
nx=ny=m;
FOR(i,n,m) DFS(0,X[i],Y[i],i);
KM();
FOR1(i,n-1) PR(Z[i]-X[i]);
FOR(i,n,m) PR(Z[i]+Y[i]);
return 0;
}