陶哲轩实分析习题8.5.5
2013-01-17 16:59
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设$f:X\to Y$是从集合$X$到$Y$的函数.假设$Y$是具有某个序关系$\preceq_Y$的偏序集.在$X$上定义一个关系$\preceq_X$使得$x\preceq_X x'$当且仅当$f(x)\preceq_Y f(x')$.证明这个关系使$X$成为一个偏序集.
证明：首先证明$\forall x\in X$,$x\preceq_X x$.这是因为设$f(x)=y$,$y\preceq_Y y$,所以$x\preceq_X x$.
再证明若$x\preceq_X y$,$y\preceq_X z$,则$x\preceq_X z$.因为$f(x)\preceq_Y f(y)$,$f(y)\preceq_Y f(z)$,所以$f(x)\preceq_Y f(z)$,所以$x\preceq_X z$.
再证明$x\preceq_X y$,$y\preceq_X x$,则$x=y$.这是因为$f(x)\preceq_Yf(y),f(y)\preceq_Y f(x)$,所以$f(x)=f(y)$.若$x\neq y$则$x\prec y$,则$f(x)\prec f(y)$,矛盾.
(感谢zhiguoxu指出第三行论证的错误，第三行论证是错的！更加的，陶哲轩自己也错的。修正请见下面的评论)
如果我们还知道$\preceq_Y$使$Y$成为全序集,那是否意味着$\preceq_X$使$X$成为全序集？
如果$\preceq_Y$使$Y$成了全序集，意味着$f(x)\neq f(y)(x\neq y)$时，$f(x)\prec_Y f(y)$和$f(y)\prec_Y f(x)$有且必仅有一个成立.即$x\prec y$和$x\prec y$有且仅有一个成立.可见，$f$必须是满射的情况下$X$才能也是全序集.
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