陶哲轩实分析习题8.3.4
2013-01-16 21:56
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第一问:证明对于任何集合$X$,$X$具有比$2^X$严格小的基数.这一问可以通过定理8.3.1(Cantor 定理)很容易推出.
第二问:第二问叫我们证明基数大小的传递性.设集合$A$的基数严格小于$B$,集合$B$的基数严格小于$C$,易得$A$的基数小于或等于$C$的基数,假若$A$的基数能等于$C$的基数,表明$A$与$C$之间存在双射.因为$A$到$B$有单射,因此$C$到$B$有单射.而$B$到$C$也有单射,根据Cantor-Bernstein-Schroeder定理,$B$到$C$有双射,这与$B$的基数严格小于$C$矛盾.因此假设不成立,即$A$的基数严格小于$C$的基数.
第二问:第二问叫我们证明基数大小的传递性.设集合$A$的基数严格小于$B$,集合$B$的基数严格小于$C$,易得$A$的基数小于或等于$C$的基数,假若$A$的基数能等于$C$的基数,表明$A$与$C$之间存在双射.因为$A$到$B$有单射,因此$C$到$B$有单射.而$B$到$C$也有单射,根据Cantor-Bernstein-Schroeder定理,$B$到$C$有双射,这与$B$的基数严格小于$C$矛盾.因此假设不成立,即$A$的基数严格小于$C$的基数.
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