拉格朗日乘子法和KKT条件

拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)和KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件是求解约束优化问题的重要方法，在有等式约束时使用拉格朗日乘子法，在有不等约束时使用KKT条件。前提是：只有当目标函数为凸函数时，使用这两种方法才保证求得的是最优解。

对于无约束最优化问题，有很多经典的求解方法，参见无约束最优化方法。

拉格朗日乘子法

转换为



系数λi称为拉格朗日乘子。

下面看一下wikipedia上是如何解释拉格朗日乘子法的合理性的。

现有一个二维的优化问题：



我们可以画图来辅助思考。



绿线标出的是约束g(x,y) = c的点的轨迹。蓝线是f的等高线。箭头表示斜率，和等高线的法线平行。

从图上可以直观地看到在最优解处，f和g的斜率平行。


λ ≠ 0

一旦求出λ的值，将其套入下式，易求在无约束极值和极值所对应的点。


=


新方程

在达到极值时与

相等，因为

达到极值时

总等于零。

KKT条件

对于带约束优化问题



KKT条件指出，在最优解处X*应该满足：