尺度空间方法

尺度空间方法的基本思想是：在视觉信息（图像信息）处理模型中引入一个被视为尺度的参数，通过连续变化尺度参数获得不同尺度下的视觉处理信息，然后综合这些信息以深入地挖掘图像的本质特征。

定义 设多尺度分析的初始图像为u0(x)(x 2 ­，­ 为图像区域)，u(x; t) 为多尺度分析用于图像所获得的在尺度t(t > 0) 时的图像，称Tt：u0(x) -> u(x; t) 为尺度空间算子，尺度空间算子族{Tt}t>0 为尺度空间，并称Tt+h ：u(x; t) ->u(x; t + h) 为尺度由t 变化到t + h 的尺度空间算子。

当我们用眼睛观察物体时，一方面，当物体所处背景的光照条件变化时，视网膜感知图像的亮度水平和对比度是不同的，因此要求尺度空间算子对图像的分析不受图像的灰度水平和对比度变化的影响，即满足灰度不变性和对比度不变性；另一方面，相对于某一固定坐标系，当观察者和物体之间的相对位置变化时，视网膜所感知的图像的位置、大小、角度和形状（三维物体投影到视网膜上的二维图像轮廓，通常对应于图像的仿射变换）是不同的，因此要求尺度空间算子对图像的分析与图像的位置、大小、角度以及仿射变换无关，即满足平移不变性、尺度不变性、欧基里德不变性以及仿射不变性。

大尺度下的图像可以通过对小尺度图像的尺度空间算子作用而直接获得，局部对比性意味着尺度空间算子作用对图像灰度值的局部保序性。

线性尺度空间具有以下明显缺陷：一方面，热扩散方程描述的是各向同性的扩散过程，因此在光滑图像时，任意象素点的灰度值在各个方向的扩散都相同，这必然引起图像边缘模糊化；另一方面，对比度不变性和线性性是一对矛盾，热扩散方程的线性性决定了它无法满足对比度不变性。

数学形态学的基本思想是：通过调整所含参数，逐渐简化图像，但同时保持图像的基本形状，因此其分析图像的过程具有视觉多尺度分析的特征。将数学形态学纳入尺度空间框架，它主要由膨胀和腐蚀两类基本算子构成.

1) 线性尺度空间方法。它由热扩散方程所描述，广泛应用于图像滤波领域，但它具有模糊图像边缘、破坏图像对比度的缺陷；

2) 非线性尺度空间方法。Perona&Malik 模型是对线性尺度空间的直观改进，该模型能在保持图像边缘的前提下光滑图像，因此具有较高的实用价值；另外，仿射不变曲率方程是非线性尺度空间公理化体系下的最佳方程，该方程具有较高的理论价值和实用价值，且已广泛应用于图像分析、识别等领域；

3) 形尺度空间方法。仿射平面曲线演化方程是该方法公理化体系下的最佳方程，该方程可视为仿射不变曲率方程的局部化形式。形尺度空间方法及其所延伸的几何偏微分方程方法是目前图像局部分析的前沿方法；

4) 数学形态学尺度空间方法。该方法由膨胀算子和腐蚀算子所刻画，由它们的仿射变形所定义的仿射不变迭代滤波算子满足仿射不变曲率方程。因此，数学形态学方法与非线性尺度空间方法本质上一致且可相互实现。

参考文献：计算机视觉中的尺度空间方法 孙剑, 徐宗本 工程数学学报