扩展欧几里得算法

扩展欧几里德定理

　　对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整　　数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

ax + by = c 可转化为 ax + by = gcd(a, b)

ax1 + by1 = gcd(a, b)

bx2 + (a % b) y2 = gcd(b , a%b)

根据欧几里得定理  gcd(a,b) = gcd(b, a%b)

所以

ax1 + by1 = bx2 + (a%b)y2

a%b = a - (a / b) * b

代入得  ax1 + by1 = bx2 + (a - (a/b) * b) *y2

观察恒等式得 x1 = y2 , y1 = x2 - (a/b)*y2

由于不断的递归，构造方程式的a%b最终会等于0，所以会求到 bx2 = gcd(b, 0) 的解 ，由于恒等，可以求得一个x1,y1的解。

于是可以根据x2,y2的一个解，x2 = 1, y2 = 0 ，可以求得x1，y1;

　　int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
　　{
　　if(b == 0)
　　{
　　x = 1;   // 此处为x2 ,y2
　　y = 0;
}
　　int r = exGcd(b, a % b, x, y);
　　int t = x;
　　x = y;
　　y = t - a / b * y;  // 此处为x1,y1,即函数参数为x1,y1,扩展欧几里得返回一个特解
　　return r;
　　}

x = x1 * c / gcd(a,b), y = y1 * c /gcd(a,b)

求得 ax +by = c的解

x = x0 + b / gcd(a,b) *k

y = y0 - a/ gcd(a,b) *k

于是讨论x的取值符合题意即可