TSP问题的解决方法

著名的货郎担架问题大家都明白，现在要求解它。有两种办法
方法一，暴力枚举法，举出所有的路径，这方法最简单，但是，需要N!的复杂度，当n比较大时，完全没有可计算性，当然，生成n!种排列比较简单，不需要什么高端的技巧。在此不解释这种解法

方法二，动态规划，设T(Vi,V)表示从V1经过V中所有结点到Vi的最短路径值，于是我们有以下的转移方程

T(Vi,V)=min{D(k,i)+T(Vk,V\{Vk}}其中Vk是V中元素，其中D(k,i)表示第k个结点到第i个的距离(允许取无穷大)。我们要求解的问题是T(V1,V\{V1}).----即我们从V1出了，遍历V中除V1之外的结点，然后回到V1.根据这个原则，我们用二进制位表示每一个元素的取与不取。则知道代码如下：

[cpp] view plaincopyprint?

//author:sy1206321

#include <iostream>

using std::endl;

using std::cin;

using std::cout;

unsigned int iNodeCount;//结点的个数

unsigned int** lpDpArray;//动态规划时的数组

unsigned int** lpGraph;//存储图的数据

bool ** bHasCaculate;//存储一条路径是否访问过

unsigned int** lpPath;//存储最短的路径

bool FreeResource();//free memory

bool InitData();//init graph data

void Search();//搜索最短的路径

unsigned int GetMinPath(unsigned int iNode, unsigned int iNodeSet);

void ShowPath();//显示其中一个路径

int main(){

InitData();

Search();

cout<<lpDpArray[1][(1<<iNodeCount)-2]<<endl;

ShowPath();

FreeResource();

system("PAUSE");

}

bool FreeResource(){//free memory

for(int iIndex= 0; iIndex<= iNodeCount; ++iIndex){

delete[] lpDpArray[iIndex];

delete[] bHasCaculate[iIndex];

delete[] lpGraph[iIndex];

delete[] lpPath[iIndex];

}

delete[] lpDpArray;

delete[] bHasCaculate;

delete[] lpGraph;

delete[] lpPath;

return true;

}

bool InitData(){//allocate memory and init data

cout<<"请输入结点个数:"<<endl;

cin>>iNodeCount;

lpDpArray = new unsigned int*[iNodeCount+ 1];

lpDpArray[0] = NULL;

bHasCaculate = new bool*[iNodeCount+ 1];

bHasCaculate[0]= NULL;

lpGraph = new unsigned int*[iNodeCount+ 1];

lpGraph[0] = NULL;

lpPath = new unsigned int*[iNodeCount+ 1];

lpPath[0] = NULL;

for(int iIndex= 1; iIndex<= iNodeCount; ++iIndex){

lpDpArray[iIndex] = new unsigned int[1<<iNodeCount];

bHasCaculate[iIndex] = new bool[1<<iNodeCount];

lpGraph[iIndex] = new unsigned int[iNodeCount+1];

lpPath[iIndex] = new unsigned int[1<<iNodeCount];

}

cout<<"请输入图的数据，如果不存在就输入0"<<endl;

//读入图的数据，不存在则用无穷表示(static_cast<int>(-1))

for(unsigned int iRow= 1; iRow<= iNodeCount; ++iRow){

for(unsigned int iCol= 1; iCol<= iNodeCount; ++iCol){

cin>>lpGraph[iRow][iCol];

if(!lpGraph[iRow][iCol]){

lpGraph[iRow][iCol] = static_cast<unsigned int>(-1);

}

}

}

//把bHasCaculate, lpDpArray, lpPath数组全部清零

for(unsigned int iRow=1; iRow<= iNodeCount; ++iRow){

for(unsigned int iCol= 1; iCol< (1<<iNodeCount); ++iCol){

bHasCaculate[iRow][iCol] = false;

lpDpArray[iRow][iCol] = static_cast<unsigned int>(-1);

lpPath [iRow][iCol] = 0;

}

}

return true;

}

//=========================================================================

//lpDpArray[iNode][iNodeSet]表示从Node(1)到Node(iNode)经过iNodeSet集合中的点的

//最小值

//=========================================================================

void Search(){

//显然当iNodeSet为0是，表示空集

for(int iNode= 1; iNode<= iNodeCount; ++iNode){

lpDpArray[iNode][0] = lpGraph[1][iNode];

lpPath [iNode][0] = 1;

bHasCaculate[iNode][0] = true;

}

lpDpArray[1][(1<<iNodeCount)-2] = GetMinPath(1, (1<<iNodeCount)-2);

}

unsigned int GetMinPath(unsigned int iNode, unsigned int iNodeSet){

if(bHasCaculate[iNode][iNodeSet]){

return lpDpArray[iNode][iNodeSet];

}

unsigned int iMinValue = static_cast<int>(-1);

for(int iPreNode= 1; iPreNode<= iNodeCount; ++iPreNode){

if(((1<<(iPreNode-1)) & iNodeSet) && (lpGraph[iPreNode][iNode]!= -1)){//iPreNode is a elem of iNodeSet

unsigned int iPreValue = GetMinPath(iPreNode, iNodeSet&(~(1<<(iPreNode-1))));

if((iPreValue!= -1) && iPreValue+ lpGraph[iPreNode][iNode]< iMinValue){//update value

lpPath[iNode][iNodeSet] = iPreNode;

iMinValue = iPreValue+ lpGraph[iPreNode][iNode];

}

}

}

lpDpArray[iNode][iNodeSet] = iMinValue;

bHasCaculate[iNode][iNodeSet] = true;

return lpDpArray[iNode][iNodeSet];

}

void ShowPath(){

int * path= new int[iNodeCount+ 1];

int ivalue= (1<<iNodeCount)-1;

int iPreNode = 1;

int iNodeIndex = 0;

while(ivalue){

ivalue-= (1<<(iPreNode-1));

path[iNodeCount-iNodeIndex] = iPreNode;

++iNodeIndex;

iPreNode = lpPath[iPreNode][ivalue];

}

path[0]= 1;

for(iNodeIndex= 0; iNodeIndex<= iNodeCount; ++iNodeIndex){

cout<<path[iNodeIndex]<<(iNodeIndex== iNodeCount ? "\n":"->");

}

delete[] path;

}

在其中我们并没有完全采用动态规划，而是采用它的一个变种---备忘录，我们把已经求得的还会重新利用的小的结果记录起来，下次再求解这个小问题的时候直接查表就可以了，而不是像动态规划那样，在求解一个大问题的时候要求所有的小问题都已经被解决。

易求算法时间复杂度是O(n*2^n)空间也是，显然在时间上比n!要快许多，而对于n!我们由斯特林公式知n!=(n/e)^n*(2*pi*n)^0.5，显然比2^n*n要大许多的

其中我给的一组输入值是:

6(6个顶点）

0 10 20 30 40 50
12 0 18 30 25 21
23 19 0 5 10 15
34 32 4 0 8 16
45 27 11 10 0 18
56 22 16 20 12 0

以上的是边的权值（有向图