HDU 4349——Lucas定理的巧妙应用

Lucas定理如下，是Édouard Lucas于1878年证明的定理，其数学表达式如下：

For non-negative integers m and n and a prime p, the following congruence
relation holds:



where



and



are the base p expansions of m and n respectively.

其证明过程，我表示在一晚上没睡觉的情况下，实在是懒得去看懂........就默认该定理成立。

而在HDU 4349题中，是要求C(n,m)其中0<=m<=n中奇数的个数，由于n的值得范围是1<=n<=100000000,显然不可能将C(n,m)算出进行统计，那么就用到了Lucas定理。

每一个m都可以写成

其中p=2;

每一个n都可以写成

，其中p=2;

这样的话，每一个0<=ni<=1 0<=mi<=1。

由Lucas定理知，若C(n,m)是奇数，那么每一个C(ni,mi)都是奇数，这样那么ni==1 （ mi==1

或者 mi==0 ) , 而对于每组数据给定的n,其值ni是固定的。因此，只需将式子

中的换成2。那么这个式子就是n的二进制转化为10进制的式子，因此只需要统计出n转化为2进制时1的个数，就是题目的解。

附代码：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define LL long long
void solve()
{
int n;LL temp;
while(scanf("%d",&n)==1)
{
int counter=0;
while(n)
{
if(n%2==1)  counter++;
n=n/2;
}

temp=(LL)(pow(2.0,counter));
printf("%I64d\n",temp);
}
}
int main()
{
solve();
return 0;
}