无穷小与无穷大的故事

在无穷小微积分学里面还有一位“无名英雄’，它就是无穷大。应当认识到无穷小与无穷大的概念都是微积分理论研究所需要的（理想数）。
让孩子们“数数”往往数到一百以上就会”出错“，经常又数回来了。对儿童而言，”大数字“在他们的头脑里面很糊涂。我们成年人也怕大数字，也会犯胡涂。什么叫”无穷大“？首先要搞清楚的是，什么叫无穷大整数？比如：

1，2，3，4，5，6，......，......H，H+1，H+2，H+3......
这些“超大数字”H，H+1，H+2是些什么数？是怎么造出来的？有什么用处？怎么用？
在超实数系R中，让变量y=[x]，其中[x]代表小于实数x的最大的整数。很明显的是：y=[x]是一个R上的“陈述句“（statement）。按照所谓“转移公理”（TransferAxiom），将该“陈述句”搬到超实数系*R里面也成立。也就是说，当x是超实数时，y就叫”超整数“（Hyperinteger）。原来，在自然数n的后面跟着的是这些”大数字“，即H，H+1，H+2，.....等等。这些大数字究竟有多大，实际上并不要紧，只要知道它们很大，特别的大，就行了。我们不妨把它们叫做”无穷大“。
这些大数字怎么用呢？首先，可以用它们来分割”区间“{a，b]，将其分割成无限个长度为无穷小∆x的”子区间“。在这无限多个无穷小的子区间上就好做文章了，比如：讨论连续函数的基本性质以及定积分的概念，证明微积分学的”基本定理“（牛顿-莱布尼兹定理），等等。真的这么灵验吗？当然。J.Keisler的无穷小微积分电子书就是这么干的。实际上，该电子版教材共计989页，在193页就把微积分学”基本定理“搞定了，只占用了1/5的时间。相比之下，我国普通高校的”高等数学“（160学时）教学大纲规定：用72学时讲完微积分学的”基本定理“，占用了几乎一半的学时。我国每年大约有400万在校生需要上”高等数学“这们必修课，整天念（ε，δ）这个”经“，费时费力，而且搞得头脑里面一堆”糊涂“。
有人不相信大数字（无穷大）这么灵验。现在，让我们设想一下：一个有限数字区间[a，b]被分割成无限多的无穷小子区间是个什么样的情景？许多小区间里面连一个实数也没有，全部是超实数。我的老天爷啊，实数这么多还不够用吗？真是奇怪！好奇心就来了。大家知道，灵感总是伴随着好奇心。将来，在这400万学子中间说不定会出现一个数学”莫言“去瑞典斯德哥尔摩领奖呢？......我这不是在做梦吧？
说明：昨天晚上，我问孩子：网购的那本《高等数学》教材怎么没有送到家？她对我说，邮寄到她单位去了，改天给我送回来。对此，我很无奈也。