拉普拉斯变换 傅里叶变换 Z变换
2012-12-13 22:55
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1、Z变换在数学和信号处理上,把一连串离散的实数或复数信号,从时域转为频域表示。
2、拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换,又名拉氏转换,其符号为
![](http://upload.wikimedia.org/math/4/e/9/4e937d3f35445e704445b1cd32d5592e.png)
。拉氏变换是一个线性变换,可将一个有引数实数t(t
≥ 0)的函数转换为一个引数为复数s的函数。有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易,但若将实变量函数作拉普拉斯变换,并在复数域中作各种运算,再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果,往往在计算上容易得多。在工程学上,拉普拉斯变换的重大意义在于:将一个信号从时域上,转换为复频域(s域)上来表示。
3、傅里叶变换(Fourier变换)是一种线性的积分变换。在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。
4、离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,缩写为DFT),是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式,将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。在形式上,变换两端(时域和频域上)的序列是有限长的,而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT,也应当将其看作其周期延拓的变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换计算DFT。
5、离散时间傅里叶变换(DTFT,Discrete-time
Fourier Transform)是傅里叶变换的一种。它将以离散时间
![](http://upload.wikimedia.org/math/a/4/a/a4a349849bf639be98407a548ee50b55.png)
(其中
![](http://upload.wikimedia.org/math/6/d/9/6d994d478e5570ba697984f79d936472.png)
,
![](http://upload.wikimedia.org/math/b/9/e/b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png)
为采样间隔)作为变量的函数(离散时间信号)
![](http://upload.wikimedia.org/math/7/6/9/769795d805288c9c921a18f2b4f99f77.png)
变换到连续的频域,即产生这个离散时间信号的连续频谱
![](http://upload.wikimedia.org/math/7/b/e/7bea7d21cd3be0657f5c3be38177e227.png)
,值得注意的是这一频谱是周期的。
关系:
1、所谓的域就相当于坐标,即用某种坐标衡量系统。
时域和频域之间使用傅里叶变换和反变换进行转换;
时域和复频域之间使用拉普拉斯变换和反变换进行转换。
2、fourier变换是将连续的时间域信号转变到频率域;
laplace变换是fourier变换的推广,存在条件比fourier变换要宽,是将连续的时间域信号变换到复频域(整个S复平面,而fourier变换此时可看成仅在jΩ轴);
z变换则是连续信号经过理想采样之后的离散时间信号(序列)的laplace变换,再令z=e^sT时的变换结果(T为采样周期),所对应的域为复频域(Z平面 单位圆)。
2、拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换,又名拉氏转换,其符号为
![](http://upload.wikimedia.org/math/4/e/9/4e937d3f35445e704445b1cd32d5592e.png)
。拉氏变换是一个线性变换,可将一个有引数实数t(t
≥ 0)的函数转换为一个引数为复数s的函数。有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易,但若将实变量函数作拉普拉斯变换,并在复数域中作各种运算,再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果,往往在计算上容易得多。在工程学上,拉普拉斯变换的重大意义在于:将一个信号从时域上,转换为复频域(s域)上来表示。
3、傅里叶变换(Fourier变换)是一种线性的积分变换。在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。
4、离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,缩写为DFT),是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式,将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。在形式上,变换两端(时域和频域上)的序列是有限长的,而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT,也应当将其看作其周期延拓的变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换计算DFT。
5、离散时间傅里叶变换(DTFT,Discrete-time
Fourier Transform)是傅里叶变换的一种。它将以离散时间
![](http://upload.wikimedia.org/math/a/4/a/a4a349849bf639be98407a548ee50b55.png)
(其中
![](http://upload.wikimedia.org/math/6/d/9/6d994d478e5570ba697984f79d936472.png)
,
![](http://upload.wikimedia.org/math/b/9/e/b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png)
为采样间隔)作为变量的函数(离散时间信号)
![](http://upload.wikimedia.org/math/7/6/9/769795d805288c9c921a18f2b4f99f77.png)
变换到连续的频域,即产生这个离散时间信号的连续频谱
![](http://upload.wikimedia.org/math/7/b/e/7bea7d21cd3be0657f5c3be38177e227.png)
,值得注意的是这一频谱是周期的。
关系:
1、所谓的域就相当于坐标,即用某种坐标衡量系统。
时域和频域之间使用傅里叶变换和反变换进行转换;
时域和复频域之间使用拉普拉斯变换和反变换进行转换。
2、fourier变换是将连续的时间域信号转变到频率域;
laplace变换是fourier变换的推广,存在条件比fourier变换要宽,是将连续的时间域信号变换到复频域(整个S复平面,而fourier变换此时可看成仅在jΩ轴);
z变换则是连续信号经过理想采样之后的离散时间信号(序列)的laplace变换,再令z=e^sT时的变换结果(T为采样周期),所对应的域为复频域(Z平面 单位圆)。
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