找东西背后的概率问题——From《思考的乐趣 Martix67数学笔记》

来自于《思考的乐趣-Matrix67数学笔记》第一部分第2节的一条小题

题目：

我的书桌有8个抽屉，分别用数字1到8编号。每次拿到一份文件后，我都会把这份文件随机的放在一个抽屉中。但是我非常粗心，有1/5的概率会忘了把文件放进抽屉里，最终把文件搞丢。
现在我要找一份非常重要的文件。我将按顺序打开每一个抽屉，直到找到这份文件为止（或者很悲剧的发现，翻遍了所有抽屉都没能找到这份文件）。考虑下面三个问题。
(1) 假如我打开了第一个抽屉，发现里面没有我要的文件。这份文件在其余的7个抽屉里的概率是多少？
(2) 假如我翻遍了前4个抽屉，里面都没有我要的文件。这份文件在剩下的4个抽屉里的概率是多少？
(3) 假如我翻遍了前7个抽屉，里面都没有我要的文件。这份文件在最后一个抽屉里的概率是多少？

这实际上是道很简单的题目，只是惭愧，大学里学的概率已经全部还给老师，第一遍看题目愣是没解出来。第二遍看题目时才发现M牛在第1节提到贝叶斯定理的用意。

以第(1)个问题为例

解：

设事件A：在第一个抽屉没有找到文件

设事件B：在其余的7个抽屉中找到文件

则所求概率为P(B|A)

根据贝叶斯公式，可得P(B|A) = P(A|B)·P(B) / P(A)

对于P(A|B)，当事件B发生时，事件A发生的概率显然为1

对于P(B)，可得P(B) = (1 - 1/5)·(7/8) = 7/10

对于P(A)，可得P(A) = 1 - (1- 1/5)·(1/8) = 9/10

代入各值，可得P(B|A) = (7/10) / (9/10) = 7/9

解毕

M牛在书中给出的一个巧妙解法是这样的。

注意到，平均每10份文件就有两份被搞丢，其余8份平均地分给了8个抽屉。假如我把所有搞丢了的文件都找了回来，那么它们应该还占2个抽屉。这让我们想到了这样一个有趣的思路：在这8个抽屉后加上2个虚拟抽屉——抽屉9和抽屉10，这两个抽屉专门用来装我丢掉的文件。我们甚至可以把题目等价地变为：随机把文件放在10个抽屉里，但找文件时不允许打开最后2个抽屉。当我已经找过n个抽屉但仍没找到我想要的文件时，文件只能在剩下的10-n个抽屉里，但是我只能打开剩下的8-n个抽屉，因此所有的概率是(8 - n)/(10 - n)。当n分别等于1、4、7时，这个概率值分别是7/9、2/3和1/3。

然后来看下如何从普通的解法转到(8 - n)/(10 - n)这个结论。

从基本的解法中可发现，对于此题中的事件A、B，有P(A|B)恒等于1。因此，实际上当文件不在前n个抽屉中时，文件在后(抽屉总数-n)个抽屉中的概率就为(文件在后(抽屉总数 - n)个抽屉中的概率 除以 文件不在前n个抽屉中的概率)

考虑文件不在前n个抽屉中的概率，可得P(文件不在前n个抽屉中) = 1 - P(文件不丢失)·(n / 抽屉总数)

考虑文件在后(抽屉总数 - n)个抽屉中的概率，可得P(文件在后(抽屉总数 - n)个抽屉中) = P(文件不丢失)·(抽屉总数 - n) / 抽屉总数

则总体概率为P(B|A) = P(文件不丢失)·(抽屉总数 - n) / (抽屉总数 - P(文件不丢失)·n)

代入P(文件不丢失) = 4/5， 抽屉总数 = 8，可得

总体概率P = (4/5)·(8 - n) / (8 - 4·n / 5) = (8 - n) / (10 - n)