引入无穷小,扩展微积分
2012-12-12 03:41
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如何引入无穷小ε,把实数系R扩展到超实数系*R?*R与R有什么关系?仅靠胡诌、说空话是会”误人子弟“的。无穷小能否经受住公理化的考研?
J. Keisler是数理逻辑模型论学者,当然不忘求助于公理化方法。对我们来说,模型论公理显得有些诡异,有点摸不着头脑。仔细体会一下,别具风味。下面是”延伸公理“(Extension
Axiom),我们多用符号表示,节省文字。
*I、延伸公理:
A. 存在*R,使得R⊂*R
B.
在*R上存在新的次序关系*<,使得<⊂*<(注:符号⊂是集合的包含关系)
C.在*R中存在一个超实数ε,是的0*<
ε,而且ε*<
r (r为正实数)
D.对R上定义的函数f,存在一种定义在*R上的自然延伸*f
初看起来,一头雾水,不知所云。再引入与其相配”转移公理“(Transfer
Axiom)即可明白了。
*II、转移公理
任何在R上真的”Real
Statement“,对*R亦真。
有人对上述”转移公理“,更是”莫名其妙“,甚至感到好笑。”Real
Statement“是模型论的重要术语,现在我们只需”望文生义“就行了。至此,我们陷入一种”尴尬境地“,怎么也说不清楚,似乎没有救了。那么,我们该怎么办呢?J.
Keisler是不是欺骗了我们?非也。
首先,从延伸公理第C条款,我们知道不等式:
0
*< ε*< r
是对所有的正实数r而言的(不是正的超实数),而且是对新的*R上次序关系*<成立的不等式,在原有的次序关系<下,也就是在原有的实数系R里面,这是不能成立的。因而,这就避免了在表面上看起来有关无穷小的“逻辑矛盾”。人们对无穷小的恐惧消失了。
现在,对我们而言,在超实数*R的上空”一片空白”,空空如也。转移公理告诉我们,在实数系R上成立的“实陈述”(Real
Statement),在超实数系*R上也必然成立,似乎把R上的“知识”全部转移过来了。不过,这写知识必须是一阶逻辑能够表述的“知识”,莫言的魔幻故事不行。
在微积分里面引入无穷小的好处是不言而喻的,好处多多。比如,什么叫“无限地接近”,什么叫“任意的小”,什么”以L为极限“,......,对学生都有了明确的“交代”。至此,三百年来困扰数学家的“无穷小数”难题被数理逻辑模型论解决了。当然,对于什么是“Real
Statement”,J.Keisler在电子书“无穷小微积分”的”后记“里面有着详细的交代,但是,现在对我们而言,有点儿”玄“,所以,我暂时就不多去说了。模型论不是儿童故事,一看就明白。
说明:一旦我们进入了超实数*R领域,这些”*“号往往就省去了。但是,我们心中始终要分清”Real
Statement“与”Hyperreal
Statement“的区别。
J. Keisler是数理逻辑模型论学者,当然不忘求助于公理化方法。对我们来说,模型论公理显得有些诡异,有点摸不着头脑。仔细体会一下,别具风味。下面是”延伸公理“(Extension
Axiom),我们多用符号表示,节省文字。
*I、延伸公理:
A. 存在*R,使得R⊂*R
B.
在*R上存在新的次序关系*<,使得<⊂*<(注:符号⊂是集合的包含关系)
C.在*R中存在一个超实数ε,是的0*<
ε,而且ε*<
r (r为正实数)
D.对R上定义的函数f,存在一种定义在*R上的自然延伸*f
初看起来,一头雾水,不知所云。再引入与其相配”转移公理“(Transfer
Axiom)即可明白了。
*II、转移公理
任何在R上真的”Real
Statement“,对*R亦真。
有人对上述”转移公理“,更是”莫名其妙“,甚至感到好笑。”Real
Statement“是模型论的重要术语,现在我们只需”望文生义“就行了。至此,我们陷入一种”尴尬境地“,怎么也说不清楚,似乎没有救了。那么,我们该怎么办呢?J.
Keisler是不是欺骗了我们?非也。
首先,从延伸公理第C条款,我们知道不等式:
0
*< ε*< r
是对所有的正实数r而言的(不是正的超实数),而且是对新的*R上次序关系*<成立的不等式,在原有的次序关系<下,也就是在原有的实数系R里面,这是不能成立的。因而,这就避免了在表面上看起来有关无穷小的“逻辑矛盾”。人们对无穷小的恐惧消失了。
现在,对我们而言,在超实数*R的上空”一片空白”,空空如也。转移公理告诉我们,在实数系R上成立的“实陈述”(Real
Statement),在超实数系*R上也必然成立,似乎把R上的“知识”全部转移过来了。不过,这写知识必须是一阶逻辑能够表述的“知识”,莫言的魔幻故事不行。
在微积分里面引入无穷小的好处是不言而喻的,好处多多。比如,什么叫“无限地接近”,什么叫“任意的小”,什么”以L为极限“,......,对学生都有了明确的“交代”。至此,三百年来困扰数学家的“无穷小数”难题被数理逻辑模型论解决了。当然,对于什么是“Real
Statement”,J.Keisler在电子书“无穷小微积分”的”后记“里面有着详细的交代,但是,现在对我们而言,有点儿”玄“,所以,我暂时就不多去说了。模型论不是儿童故事,一看就明白。
说明:一旦我们进入了超实数*R领域,这些”*“号往往就省去了。但是,我们心中始终要分清”Real
Statement“与”Hyperreal
Statement“的区别。
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